ジョルダン標準形が求められません＞＜

質問

以下の行列のジョルダン標準形が求められずに困っています。
A =
(-1　 0　 0)
(-3　-6　-5)
( 3　 5　 4)

固有値λはλ = ー1 のみでした。
それに対する固有ベクトルv = (x, y, z)(転置)が、
(A + λE)v =
( 0　　0　　0)(x)　　(0)
(-3　-5　-5)(y) ＝(0)
( 3　　5　　5)(z)　　(0)
より
3x + 5y + 5z = 0
を満たすことから
(x, y, z) = (-5, 3, 0), (5, 0, -3)
としました。

残る1本の一般固有ベクトルは、
( 0　　0　　0)(x)　　　(-5) 　　( 5)
(-3　-5　-5)(y) =　a( 3) + b( 0)
( 3　　5　　5)(z)　　　( 0) 　　(-3)
が解を持つように a, b を定めたときの解なので、
a = b = 1
とすると、
(x, y, z) = (-1, 0, 0)
は条件を満たすのでこれを最後の一般固有ベクトルとしました。

これらをならべて、変換行列Sを
S =
(-5　 5　-1)
( 3　 0　 0)
( 0　-3　 0)
としました。

しかし、
(S^-1)AS =
(-1　 0　 1)
( 0　-1　 1)
( 0　 0　-1)
となってしまいます。

どなたか、どこが間違っているのかご教授ください。お願いします。

回答No.4

guuman · ベストアンサー

訂正
A・x2=λ・x2+x1+x2
を
A・x3=λ・x3+x1+x2
に
他にもあるかもしれんが文脈から判断せよ

A・x1=λ・x1
A・x2=λ・x2
A・x3=λ・x3+x1+x2
となるようにしている
上式を整理すると
A・(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3)・M
行列MはまさにS^-1・A・Sの右辺と同じ

a=b=1は正しいがそうできる根拠は説明されていない
偶然あっただけ
ちなみに真面目にやると
S=
[0 -1 -5]
[3 0 3]
[-3 0 0]
J=
[-1 1 0]
[0 -1 0]
[0 0 -1]

S^-1・A・S=J

求める固有ベクトルが２つ(v1,v2)の場合は
A・(a・v1+b・v2)=λ・(a・v1+b・v2)
A・x2=λ・x2+(a・v1+b・v2)
を満たすa,b,x2(0ベクトルはダメ）を求め
（ここで偶然にもa=bとなるためa=b=1とできたのだ）
x1=a・v1+b・v2
x2:上の結果
x3:x1と独立な固有ベクトル
から
S=(x1,x2,x3)を求める

お礼

丁寧なご回答ありがとうございます。
guuman様の回答のx1~3を3から順に求めようとしたところ、
求めた固有ベクトルをすべてそのまま変換行列の要素にして、
(A-λ)v＝ｋを満たし、ｖが存在しうる、固有ベクトルの線形結合ｋを
要素から抜かしていたことが問題だとわかりました。

回答No.3

guuman

S^-1・A・S
がどうしてそうなったかだって？
そうなるようにもっていっていることは明白
A・x1=λ・x1
A・x2=λ・x2
A・x2=λ・x2+x1+x2
となるようにしているではないか
上式を整理するとどうなる
A・(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3)・M
となるではないか
行列MはまさにS^-1・A・Sの右辺と同じではないか
そうなるように下からそうなっただけのこと
a=bは正しいがそうできる根拠は説明されていない
偶然あっただけ
ちなみに真面目にやると
S=
[0 -1 -5]
[3 0 3]
[-3 0 0]
J=
[-1 1 0]
[0 -1 0]
[0 0 -1]

S^-1・A・S=J

求める固有ベクトルが２つ(v1,v2)の場合は
A・(a・v1+b・v2)=λ・(a・v1+b・v2)
A・x2=λ・x2+(a・v1+b・v2)
を満たすa,b,x2(0ベクトルはダメ）を求め
（ここで偶然にもa=bとなるためa=b=1とできたのだ）
x1=a・v1+b・v2
x2:上の結果
x3:x1と独立な固有ベクトル

以上をふまえてちゃんとした解答をかけ

回答No.2

ojisan7

a = b = 1
としたのですから、固有ベクトルとして
(-5) 　　( 5)
( 3) +　　( 0)
( 0) 　　(-3)
すなわち、(0,3,-3)を採用したことになります。そして一般固有
ベクトルが質問者さんの計算によれば、(-1, 0, 0)ですよね。
残りのベクトルは3x + 5y + 5z = 0を満たし、、(0,3,-3)と独立
であれば何でもかまいません。

お礼

ご回答ありがとうございます。
正直申し上げますと、簡潔すぎて上のguuman様の回答を見るまで内容が理解できませんでした。
しかし、今ではおっしゃりたいことが理解できました。

回答No.1

arrysthmia

一般固有ベクトルを並べて変換行列を作るときに、
各行をどの順番で並べたらよいのでしょうか？

一旦、その解答のように (S^-1)AS を計算してから、
(T^-1)(S^-1)AST がジョルダン標準形になるように
適当な行基本変形の行列 T を発見しても良いのでは
ないかと思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。
しかし、そのようなTを求めることは
手段の一つとしては確かに可能でしょうが、
場当たり的であり、一般的でないため
参考意見のひとつとさせていただきました。