ジョルダン標準形

質問

4　0　-1　-1
-1　4　0　-1
0　0　5　0
2　1　1　7
上記の４×４行列についての質問です。

固有値が5(重複度4）となり、ジョルダンブロックの個数が2となるのはわかるのですが
この行列のジョルダン標準形の固有値5に属するブロックのうち、ひとつは３次、ひとつは1次になる理由がわかりません。

よろしくお願いします。

回答No.3

ojisan7 · ベストアンサー

No２です。勤務中のため、丁寧に回答することができませんでした。すみませんでした。ところで、「ジョルダンブロックの個数が２となることは分かる」ということですので、No２に書いたことまでは分かると言うことですね。ではその続きですが、４×４行列について、ジョルダン細胞の個数は２個ですから、ジョルダン標準形は（２次、２次）となるか、（３次、１次）となるかのどちらかです。これを確かめるには、実際、計算を続行してみましょう。
(A-5E)x=0
の一般解ｐはp=(x y y -x)となりますね。このうちの１つの解p1として、
p1=(1 0 0 -1)
としましょう。次に
(A-5E)x=p1
の解をp2としましょう。すると、p2は、
p2=(1 1 0 -2)
となります。次に
(A-5E)x=p2
の解p3を求めます。ジョルダン標準形が（２次、２次）となる場合は、p3を求めることができません。解が存在しないのです。ところが、この問題の場合にはp3を求めることができて、
p3=(-1 0 0 0)
となります。
以上のことから、ジョルダン標準形は（２次、２次）ではなく、（３次、１次）となることがわかります。ジョルダン行列への正則変換行列Pを求めるには、p=(x y y -x)を満たし、p1=(1 0 0 -1)と独立な解をp4とすればよいでしょう。
詳しく理解するには、一般固有空間についても復習されることをお薦めします。
尚、ジョルダン標準形だけを求めるのであれば、単因子による方法か、基本変形による方法の方が早いと思います。

回答No.2

ojisan7

固有空間の次元を求めてみましょう。この行列をＡとすると、
(A-5E)x=0の固有空間を求めれば良いのです。４×４行列の場合でしたら、次元定理、dim(Ker(A-5E))=4-dim(rank(A-5E))を使えば良いでしょう。

回答No.1

guuman

(A-Λ・E)^1
(A-Λ・E)^2
(A-Λ・E)^3
を計算してみてください