ジョルダン標準形をつくりたいのですが・・・

質問

次の３Ｘ３行列Ａのジョルダン標準形を求めたいのですが、固有空間を求める段階でわからなくなっています。

　　（－１　　１　　０）
Ａ＝（　０　－１　　４）
　　（　１　　０　－４）

固有値は０、－３となり、次元は両方１次元。

　固有値０の固有空間は、ａを任意定数として
　ａ（　１　１　１/４）　　　（←の行列は転置です）
　固有値ー３の固有空間は、ｂを任意定数として
　ｂ（　１　－２　　１）　　　（←の行列も転置です）

ここから先がよくわからない部分なのですが・・・
（ここまででも間違っているかもしれませんので、違って　いたら教えてください）

固有ベクトルの具体例を３つ用意するために、固有値ー３に対して、　　　

ｐ｛Ａ－（－３）Ｅ｝＝ｑ　　...（★）

（Ｅは単位行列、ｑはー３の固有ベクトル具体例）

を満たすｐを求めると、そのｐが３つ目の固有ベクトルになる・・・

でいいのでしょうか？

実際、ａ＝１、ｂ＝１として（★）を計算して、具体的な固有ベクトルとして、
（０　－１　１）を出しました。　　（←の行列は転置）

そして、これらのベクトルを列ベクトルにもつ行列Ｂを考えたとき、
（Ｂの逆行列）*Ａ*Ｂ
を計算してもジョルダン標準形になりませんでした。。

ジョルダン標準形はおそらく
（－３　　１　　０）
（　０　－３　　０）
（　０　　０　　０）
ではないかと思うのですが、解法がよくわかりません。
誰かご存知の方に教えていただきたいのです。
お願いします。

回答No.1

keyguy · ベストアンサー

固有多項式はλ・(λ+3)^2であり
λ=-3の固有ベクトルがu=［1,-2,1]^Tであり固有空間は1次元なので標準形Λは
[-3,1,0]
[0,-3,0]
[0,0,0]
である。
λ=0の固有ベクトルはw=[4,4,1]^Tである。
λ=-3の拡張固有ベクトルvは
(A-λ・E)・v=u

まとめて
A・u=-3・u
A・v=u+-3・v
A・w=0
よって
A・[u,v,w]=[u,v,w]・Λ

お礼

ありがとうございます！
ジョルダン標準形はそうやって求めればいいんですね。
こんなにすっきりと求められるのですね♪
なんとかジョルダン標準形をつくれるようになりました。
助かりました！本当にありがとうございますm(＿ ＿)m