ジョルダン標準形

質問

Ａ＝
３　－１
－１　３
のジョルダン標準形を求めたいのですが、参考書を読んでも難しくてよく分かりません。
det(Ａ－λＩ）＝（λ－２）（λ－４）より、固有値は２と４だと分かりますが、その後どうやってジョルダン標準形を求めるのかが分かりません。
すみませんが、どなたか解説をお願いします。

回答No.2

adinat · ベストアンサー

追加質問は一度質問を締め切って別途しましょう。で、小言はここまでにしておいて、

固有値が{2,2,3}となっていて、固有値2に対応する固有空間の次元が1、固有値3に対応する固有空間の次元が1の場合、ジョルダン標準形は
J={{2,1,0},{0,2,0},{0,0,3}}
という行列になります。固有値の重複分だけ固有空間の次元もあればよいのですが（その場合は対角行列）、固有値2は重複度2なのに固有空間の次元が1でひとつ足りません。したがって、対角行列にならず、2,2の右上に1が出てくるのです。

ちなみに固有空間の次元は最低でも必ず1次元以上になりますが、固有値の重複度を超えることは絶対にありえません。したがって、固有値が全部異なるときは、ジョルダン標準形は対角行列になるというわけです。そして固有値に重複がある場合、その重複した固有値に対応する固有空間の次元を調べることによって、ジョルダン標準形が何になるかが分かる、というわけです。実際に問題に出されることはほぼないですが、より高次の行列になると、さらに話はややこしくなりますが、3次行列までならこの議論で完璧です。

お礼

追加質問について、失礼いたしました。
今後気をつけようと思います；
今のところ３次行列までしか習っていないので大丈夫だと思います。
他の問題も同様にして解くことが出来ました。
とても分かりやすかったです。ありがとうございました。

回答No.1

adinat

ジョルダン標準形はJ={{2,0},{0,4}}です。対角行列であって、対角成分には2,4が来ます。気分としてはジョルダン標準形というのは対角化の一般化のことであって、またジョルダン標準形の対角成分には必ずすべての固有値が並びます。だから固有値を求めさえすれば、ほとんどジョルダン標準形が出たも同然なのです（かなり言い過ぎですが）。だってその固有値を並べた対角行列を作ればよいですから。ちなみに順番は関係ないので、J={{4,0},{0,2}}もこの問題のジョルダン標準形になります。

問題になるのは、固有値が重複している場合です。2×2の行列の場合、固有多項式が平方式になる場合です。この場合はジョルダン標準形は対角行列になる場合とならない場合があります。どうやって見分けるかというと、固有空間の次元を調べます。つまり1次独立な固有ベクトルが何個あるかを調べます。必ず1個はあるのですが、2個あれば対角行列、1個のときは、対角成分に同じ固有値、非対角成分の片側に1の入った三角行列になります。むしろこちらのことをよく理解しておくことがジョルダン標準形の学習には重要ですが、この問題ならそこまで難しいことを知らなくても大丈夫です。

補足

回答ありがとうございました。
とても分かりやすく、理解できたと思います。
ですが、もし固有値が重複している場合、例えば
Ａ＝
３　－２　１
０　　３　０
－１　２　１
の場合、λ＝２，２，３となりますが、
λ＝２の場合、rank(A-２λ）＝２より固有空間の次元は１となり、λ＝３の場合、rank(A-３λ）＝２より固有空間の次元は１となりましたが、この場合の解はどうなるのでしょうか？