ジョルダン標準形

質問

次の行列Aをジョルダン標準形に変換せよ。

8 0 -1
-2 7 2
1 0 6

という問題なんですが、固有方程式を計算すると固有値は３重根で7でした。そこで固有値7に対する固有空間を求めると、多分計算が間違っていなければ

x1=[1 0 1]^t , x2=[0 1 0]^t

が一次独立なベクトルとして取れると思うんです。そして3本目が必要なので一般固有ベクトルを求めるために(A-7E)x3=x1としてx3(=[a b c]^tとする)を求めにいったんですが、これだと1本目の式と3本目の式はa-c=1で一致するんですが2本目の式は-2a+2c=0となりa,cが一意に決められません。これはさらに2本取れることを意味してるんでしょうか？仮にa=2,c=1として3本目のベクトルをx3=[2 0 1]^tとして進めていっても最終的なジョルダン標準形の形を計算したときに

7 0 1
0 7 0
0 0 7

とズレてしまいました。多分色々と間違いが重なった結果だと思うんですが、まだジョルダン標準形をしっかり理解できてないようなのでアドバイスよろしくお願いします！
ちなみに一次独立なベクトルを並べた行列をPとすると僕の場合Pは

1 0 2
0 1 0
1 0 1

となりますが解答のほうは

1 1 0
-2 0 1
1 0 0

でした。

回答No.2

nabla · ベストアンサー

Jordan標準化は単なる道具ではなく線形代数の発想が凝縮した定理でもあるので頑張って理解してくださいね。

まず重要なのは固有方程式を出すだけではなく、最小多項式を求めることです。
（この場合は（Ａ－７Ｅ）^2です。）

つまり、この行列はうまい基底で見れば
７１０
０７０
００７
と見えるはずです。（最小多項式が同じ）

つまり（Ａ－７Ｅ）は同じ基底で見れば
０１０
０００
０００
と見えるでしょう。

そこでうまい基底を探すことが重要になります。
０１０
０００
０００
に（１、０、０）、（０、１、０）、（０、０、１）をかけるとそれぞれ
　（０、０、０）、（１、０、０）、（０、０、０）になります。
もう一回かければ当然全て（０、０、０）になります。

これに対して（Ａ－７Ｅ）^2＝
０００
０００
０００
をかけたらゼロになるけど
Ａ－７Ｅ＝
　１　０　－１
－２　０　　２
　１　０　－１
をかけてもゼロにならないようなベクトルは例えば
（１、０、０）です。
つまり、これが（０、１、０）に見えるような基底が「うまい」基底となるわけです。

さて、あとは芋づる式です。
（１、０、０）が（０、１、０）に見えたのですから
（１、０、０）にＡ－７Ｅをかけた（１、－２、１）が（１、０、０）に見えるでしょう。

注）
（０、１、０）に
０１０
０００
０００
をかけると（１、０、０）になる。

最後の一本の基底はＡ－７Ｅをかけて（０、０、０）になるもののうち、（１、０、０）、（１、－２、１）と一次独立な物なら何でもいいですがここはまあ（０、１、０）とでもしておきましょう。

これがもちろん（０、０、１）に見えるわけです。

あとは基底にこういう変換を引き起こす行列を求めればそれが標準化のための変換行列です。

標準化のミソはベキ零行列を
０１０・・・０
００１・・・０
０００・・・１
０００・・・０
に直すことです。

つまり「Ａ－αＥは適当な部分空間で見ればベキ零行列のように見える。そしてベキ零行列をその部分空間にかけると部分空間はどんどん小さくなっていく。」というのがポイントです。
あとはその部分空間を求める方法を理解すればおしまいです。

回答No.3

guuman

ジョウルダンの標準化定理を見れば
一般固有ベクトルという言葉や方法は忘れてよい
不要な公式などは覚えないほうが楽でしょう
必然的に標準化定理から出てくるのだから

固有空間の次元が2であるから必然的に
ジョルダン行列Jは1次の細胞と2次の細胞から構成される
よって
J=
[7　0　0]
[0　7　1]
[0　0　7］
と
3次正方正則行列[p1,p2,p3]により
A・［p1,p2,p3]=[p1,p2,p3]・J
とできるがこれにより
A・p1=7・p1
A・p2=7・p2
A・p3=7・p3+p2
となるように[p1,p2,p3]を決定すればよい
（一般化行列という概念は必然的でてくるだろう！）
ただし正則条件からp1,p2は互いに独立である
あなたが求めたx1とx2を使って
p1=c・x1+d・x2
p2=a・x1+b・x2
とできる
ただしa,b,c,dはp1,p2が互いに独立になるように選ぶ

整理すると
(A-7・E)・p3=p2
p1=c・x1+d・x2
p2=a・x1+b・x2
p1,p2：独立
を満たす
p1,p2,p3,a,b,c,dを選べばよい
よって
(A-7・E)・p3=p2
p2=a・x1+b・x2
a,bのいずれかが0でない
となるようにp2,p3,a,bを選び
p1=c・x1+d・x2
p1,p2：独立
となるようにc,dを任意に決めればよい

以上はNo1の回答の補足となる
Jにジョウルダン化するように
[p1,p2,p3]を決定しているのだから
あなたが示した変な行列は出てくる余地はない
No1は最後に余計なことをしていないかな?

回答No.1

eatern27

求めたいのは、(固有値7に対する)ある固有ベクトルe1に対して、
(A-7E)e2=e1・・・★
となるようなe2(とe1)です。(このようになるe2が存在しないといけないので、e1は固有ベクトルであれば何でもいい、というわけではありません)

e2=(x,y,z),e1=(a,b,a)とおけば、
b=-2a,x-z=aが得られます。これさえ満たしていれば何でもいいので、

例えば、
e1=[1,-2,1]^t,e2=[1,0,0]^t
とするのが簡単でしょう。

固有値7に対する固有ベクトルは(e1の他に)もう１本ありますから、それをe3としましょう。

これもいろいろありますが、例えば、
e3=[0,1,0]^tとでもするのが簡単でしょう。
(この場合には、固有値7のベクトルであって、e1と違う方向を向いていれば何でもＯＫ)

そして、e1,e2,e3を並べて作った行列をＰとしてやる事になります。
なお、これらの基底を並べる順番はe1,e2,e3もしくはe3,e1,e2の順でないといけないはずです。(多分、これ以外だとジョルダン細胞を並べたものにならないはず)

また、e1,e2,e3の選び方が一意ではない事から分かると思いますが、行列Ｐも一意ではありません。

・・・という感じでよかったような^^;

ところで、
>7 0 1
>0 7 0
>0 0 7
を計算するのに使ったという行列Ｐで計算してみたところ、私の計算では
7 0 1
0 7 -2
0 0 7
となりました。