無限和の収束発散

質問

大学でレポートが出たんですが、なにぶん全くの専門外でして・・・

解答法があってるかどうかも確認していただいてよろしいですか？

無限和１ー１+1-1+1-1+1-・・・の収束発散を調べろ

なんですが、私は

奇数項までの和は1、偶数項までの和は0

なので、無限和は収束せずに発散する

と考えたのですが、あってますか？？

回答No.4

kup3kup3

#1です。ライプニッツの定理は違っていました。自分の反省として
大体知っていることは、しっかり調べるか、分からないなら分からないとしてやって行きたいと思います。
なお、
>無限和１ー１+1-1+1-1+1-・・・の収束発散を調べろ

は高校の数3の教科書にのっていて、「無限等比級数」
a+ar+ar^2+・・・・+ar^(n-1)+・・・・は
(1)a≠0のとき、
　|r|<1ならば　収束し、その和は　a/(1-r)である。
　|r|≧1ならば　発散する。
(2)　a=0のとき　(0ばかりの項を足すことになり）収束し、
　その和は0である。
ときちんと書いてあります。
このご質問の無限和(無限級数)は初項が1、公比r=-1の場合に
相当します。r=-1のとき、|r|=|-1|=1　だから
「無限和は収束せず発散する」で正しいです。
普通は
(ア)　偶数項の第2n項までの部分和S_2n=0
一方
(イ)　奇数項の第(2n－1)項までの部分和S_(2n-1)=1
となるので、収束しないので発散するとします。
因みに(高校)数学では
「無限数列　a_1，a_2，a_3,.....,a_n，....　(#)があるとき、
a_1+a_2+a_3+,.....,+a_n....　を無限級数といい、
(#)をΣ[n=1 ∞]a_n とかき、初項から弟n項までの和
を　S_n=a_1+a_2+a_3+,.....,+a_n　とし、弟n項までの部分和と
いいます。この部分和の作る数列{S_n}を考えます。そして
部分和の作る無限数列{S_n}が、収束して、その極限値がＳであるとき、
すなわち、lim_n→∞S_n=lim_n→∞Σ[k=1 n]a_k＝Ｓ
となるとき、無限級数(#)はＳに収束するという。
無限数列{S_n}が発散するとき、無限級数(#)は発散するという。」
・・・　　とありました。失礼しました。

回答No.3

NMath

前の質問のほうにも書きましたが一応こちらにも

一つの値には収束しないので発散といっていいでしょう。
書き方によるでしょうが合ってはいると思います。級数の収束はあるN∈(自然数全体)までの部分和の極限ですから。
コーシー列で示すのもいいかもしれないです。

回答No.2

arrysthmia

あっています。
収束する数列の部分列は、もとの数列の極限へ収束します。
級数の和とは、部分和（を並べた数列）の極限のことですから、
級数が収束するならば、部分和の部分列は、全て同じ値へ収束
しなくてはなりません。
部分和から奇数項を取り出した部分列と、偶数項を取り出した
部分列とで極限が異なるのでは、これに反します。

「ライプニッツの定理」は、
　　単調減少な正数列 a_n が 0 へ収束するならば、
　　交代級数 Σ[n→∞](a_n)(-1)^n は収束する。
だったかと思います。

条件収束する（単純収束するが、絶対収束しない）級数の部分和から
適当な部分列を取り出すと、任意の実数値へ収束するものを見つける
ことはできますが。

回答No.1

kup3kup3

おはようございます。
>奇数項までの和は1、偶数項までの和は0
なので、無限和は収束せずに発散する

ともできるし、
S=１ー１+1-1+1-1+1-・・・
=1－(１ー１+1-1+1-1+1-・・・)
=1-S より、S=1/2 など　どのようにもできます。
上のように符号が交代する数列を「交代級数」といいます。
確か　Leibnitz(ライプニッツ）の定理で
「交代級数はどんな案実数巣値地にも収束させることができる」と
いうのがあったはずです。
とにかく、この「級数は収束しない」ことは確かです。
まあ、合っているのではないでしょうか