無限級数の和

質問

一度削除されてしまいましたが、修正したので、もう一度させていただきます。次の二つの無限級数の和を求めよ、という問題がわかりません。ご協力お願いし
ます！

(1)Σ[(n+k)!/{(n+k)-k}!・k!]・z^k (k=0～∞)
(2)Σ[{(-1)^(k-1)}/k] (k=1～∞)

(1)は第ｎ項まで順に書き出して、何か掛けて元のと上手く引けばいいのかと思ったのですが、まず何を掛ければいいのかよくわかりません。第ｎ項までの数列の和を求めて無限大まで飛ばすという考え自体が間違っているのかもしれませんが・・・
(2)これは発散するような気がするんですが、発散するという確証がつかめません・・・

解法のヒントでもいいので教えてください。お願いします。

回答No.4

guuman · ベストアンサー

１＋ｚ＋ｚ＾２＋・・・＝１／（１－ｚ）
だから両辺にｚ＾ｎをかけて
ｚ＾ｎ・（１＋ｚ＋ｚ＾２＋・・・）＝ｚ＾ｎ／（１－ｚ）
書き直して
ｚ＾ｎ・Σ［０≦ｋ］・ｚ＾ｋ＝ｚ＾ｎ／（１－ｚ）
書き直して
Σ［０≦ｋ］・ｚ＾（ｎ＋ｋ）＝ｚ＾ｎ／（１－ｚ）
書き直して
Σ［０≦ｋ］・ｚ＾（ｎ＋ｋ）＝－ｚ＾ｎ／（ｚ－１）

お礼

おお～わかりました！
何度もありがとうございました！

回答No.3

guuman

（１）
（０＜ｎとしたがｎ＝０のときも同じ）
Σ［０≦ｋ］・ｚ＾（ｎ＋ｋ）＝－ｚ＾ｎ／（ｚ－１）
すなわち
Σ［０≦ｋ］・ｚ＾（ｎ＋ｋ）＝１／（１－ｚ）－１－・・・－ｚ＾（ｎ－１）
だからこれをｎ回微分してｎ！で割ると
Σ［０≦ｋ］・（ｎ＋ｋ）！／ｎ！／ｋ！・ｚ＾ｋ＝１／（１－ｚ）＾（ｎ＋１）

（２）
Σ［０≦ｋ］・（－１）＾ｋ・ｚ＾ｋ＝１／（ｚ＋１）
だからこれを０から１まで積分すると
Σ［０≦ｋ］・（－１）＾ｋ／（ｋ＋１）＝ｌｎ（２）

なお前回回答した内容と全く同じ

お礼

たびたび回答ありがとうございます。

Σ［０≦ｋ］・ｚ＾（ｎ＋ｋ）＝－ｚ＾ｎ／（ｚ－１）
はz^(n+k)という等比数列の和のことでしょうか？
それならば、-z^n/(z-1)ではなく、
(1-z^n)・z^n/(1-z)が正しいのでは？

回答No.2

yumisamisiidesu

(1
　Σ(k=0 to m)[(n+k)!/{(n+k)-k}!・k!]・z^k
=(1+z)^(n+m)
=(1+z)^n*(1+z)^m

(2
分りませんでしたが収束するのでは？
∵Σ(n^(-2))=π/6

お礼

回答ありがとうございます。
(1)は
Σ(k=0 to m)[(n+k)!/{(n+k)-k}!・k!]・z^k
=(1+z)^(n+m)
がどうしてこうなるのかがすでにわかりません・・・お教えください。

回答No.1

gushitaro

(1)２項定理とかでは？
(2)～の収束判別とかでは？

お礼

回答ありがとうございます。
(1)二項定理だと自分も思ったのですが、なかなかうまくいきませんでした。
(2)収束判別ではなく級数の和を求めたいのですが、何かうまい方法はないものでしょうか・・・