偶数項、奇数項の級数について

質問

お教え下さい。

(1)単調減少列にて、全ての項はゼロより大きい。
(2)数列の極限値はゼロ。
(3)級数は無限大に発散。

この様な条件にて、奇数項だけを無限に足し合わせたもの、偶数項だけを無限に足し合わせたものは、
無限大に発散するとあるのですが、何故なのでしょうか？

感覚的に全ての項がゼロより大きく、また無限個の項を足し合わせたものが無限大に発散するのだから、奇数項だけ足し合わせても、また偶数項だけを足し合わせても無限大に発散するのだろうとは思えるのですが、どの様に証明したら良いか？分かりません。

回答No.3

naniwacchi

こういうときは、やはり背理法？

お礼

有り難う御座います。考えてみます。

回答No.2

ramayana

数列の第 n 項までの和を S(n) とする。第 1 項から第 2n-1 項までの奇数だけをとった n 項の和を O(2n-1) とする。第 2 項から第 2n 項までの偶数だけをとった和を E(2n) とする。

数列が単調減少だから、 E(2n) ≦ O(2n-1) 。よって

　　S(2n) = O(2n-1) + E(2n) ≦ O(2n-1)

n → ∞のとき、S(2n) → ∞だから、 O(2n-1) → ∞となる。

同様に、O(2n+1) – a ≦ E(2n) （a は数列の第 1 項）を使って、E(2n) が発散することを示すことができる。

お礼

明快なご教示、誠に有り難う御座いました。

回答No.1

rabbit_cat

級数の収束・発散を習ったのなら、コーシーの判定条件（級数の収束 ⇔ 部分級数の収束）というのをやったのでは。
部分級数を、偶数項、奇数項に分ければ。

お礼

ヒントをお与え下さり、有り難う御座います。