級数の収束・発散

質問

「級数の収束、発散を調べよ」という問題なのですが、

(1)　Σ(n/1＋n)n　
(すみません…不慣れなものでうまく表現できないのですが、「(1＋n)分のn、のn乗」という形です。)

(2)　Σ(1/1＋n)log(1＋1/n)　
（こっちは「(1＋n)分の1、かけるlog(1＋1/n)」という形です。）

この２問がわかりません…
自分の技量が足りないだけなのかもしれませんが、ダランベールやコーシーの判定法で考えてもうまくできないのです…

どなたか解答法を教えていただけませんか？お願いします。

回答No.3

TOJ · ベストアンサー

こんにちは、大学の数学科の学生です。
お役に立てるかどうか…

まず（１）ですが、第ｎ項の逆数をとって、自然対数の底であるｅ関係に収束するように式変形します。（因みに＾は指数を表します。）
(n/1＋n)＾n＝１/｛（１+１/ｎ）＾ｎ｝→１/ｅ　（ｎ→∞）
となります。
ここで数列Ａｎについて
ΣＡｎが収束　⇒　Ａｎ→０　（ｎ→∞）
が成り立つので（逆は成り立ちません）今回の第ｎ項は０に収束していない（１／ｅ　に収束）ので、
Σ(n/1＋n)＾nは発散します。

次に（２）ですが、第ｎ項　(1/1＋n)log(1＋1/n)　について
まず　１/ｎ　＞　log(1＋1/n)　（ｎは自然数）を示します。
f(x):＝ｘ－log(1+x)　(0 < x <= 1)　とおきます。
上式をxで微分して
f'(x)＝１－１/（１+ｘ）＞０　(0 < x <= 1)
よってf(x)は単調増加関数で　f(0)＝０－log１＝０　なので
f(x) ＞０　(0 < x <= 1)　がいえて、
x > log(1+x) (0 < x <= 1)　が成り立ちます。
ここで　ｘ＝１/ｎ　（ｎは自然数）とすれば　(0 < 1/n <= 1)
　１/ｎ　＞　log(1＋1/n)　（ｎは自然数）が成り立ちます。
よって、これをつかって第ｎ項を評価します。
(1/1＋n)log(1＋1/n)　＜　(1/1+n)(1/n)　＜　１/（ｎ＾２）
が成り立ちます。
ここで　Σ１/（ｎ＾２）は収束する（因みに（π＾２）/６に収束します。）ので、上の不等式とで
Σ(1/1＋n)log(1＋1/n)　は収束します。

以上の方法で多分あっていると思います。
お互い勉強頑張りましょう。

お礼

ありがとうございます。
わかり易く説明していただいて、本当に助かります。
自分はまだまだ未熟ですが、頑張ります。

回答No.2

zk43

何乗は「^」という記号で書くことにします。

(1)
{n/(1+n)}^n=1/(1+1/n)^n→1/e（n→∞）
で各項が０に収束しないので、級数は発散します。
級数が収束するための必要条件として、各項が０に収束しなければなり
ません。

(2)
log(1+x)≦xを使えば、上から押えられるので、収束が示せると思いま
す。

お礼

ありがとうございます。
参考になります。
もっと勉強しなくてはと思いました。

回答No.1

Tacosan

少なくとも (1) は簡単でしょう. 各項の逆数を考えると
((1+n)/n)^n = (1 + 1/n)^n → e
だから, 和をとる前の数列が 1/e に収束します.
後者は... log のところを展開すると結局各項が (およそ)
(1/(1+n))・(1/n) = 1/[n(n+1)] になるので, 収束するんじゃないかな.

お礼

なるほど。ありがとうございます。
無理に判定法を用いなくてもよいということですね。
助かります。