振動と発散

質問

次の無限級数の収束、発散を調べ、収束するときはその和を求めよ。
1/3-3/5+3/5-5/7+5/7-7/9・・・・
という問いで、部分和Snを(1)ｎ=２mと(2)ｎ=2m-1に場合けをして、それぞれに『lim ｘ→∞』をとったところ、
(1)limSn=lim2m=lim -2m-2/3m+12=-2/3
(2)limSn=lim2m-1=lim 1/3=1/3
ここまでは、いいのですが、解答で・・・
『ゆえに(1)(2)より、発散する』
と書いてありました。

なぜ、発散するのですか？振動するのではないのでしょうか？
ここのところををしえてください。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

vikkyi さんの(1)(2)はそのとおりですね．
で，問題は「発散」の定義です．
無限級数が収束しないときに，その級数は発散するといいます．
したがって，発散は必ずしも極限値が±∞であるときを意味しません．

極限値が±∞のときのみを指すには「定発散」といいます．
vikkyi さんの問題のような場合は「振動」あるいは「不定発散」といいます．

つまり，分類は

　　　　　┌　収束
　無限級数┤　　　┌　定発散
　　　　　└　発散┤　
　　　　　　　　　└　振動(不定発散)
です．

　　　　　┌　収束
　無限級数┼　発散　　
　　　　　└　振動

ではありません．

vikkyi さんは，定発散のことのみをを発散と言うと思われているようです．

問題が「収束、発散を調べ」とあるので，
答も「発散」とのみ書いて，定発散か振動かまでは触れなかったのでしょう．

お礼

本当に有難うございます。私は書いてあったとおり、発散と言えば±∞の事しか表していないのだとおもっていました。これで、私のなぞは解決されました。
本当に有難うございます。

回答No.2

starflora

どうも気づくと、こういう計算はすっかり過去のものとなっているのですが、級数式を順番に計算して行く限り、1/3と-2/3に振動するように思えます。
　　発散という答えが間違っているのではありませんか。

　　こういう級数式は、順番に計算して行くのが原則で、途中で勝手にまとめてはならないのですが、振動するように思えます。従って、発散の理由は分かりません。
　　（何か、間違っているのでしょうか。あるいは、こういう風に、級数の項ごとで振動するのを、「発散」と呼ぶのかも知れません。発散だとすると、呼び方の問題になります）。