無限級数の収束、発散を調べ、収束するなら、和を求めよ。

質問

無限級数の収束、発散を調べ、収束するなら、和を求めよ。
(1)1/3＋(3/3^2)＋(7/3^3)＋(15/3^4)＋(31/3^5)・・・
(2)Σ^∞_(n=1) 1/{√n＋√(n＋1)}
(1)は3/2,(2)は発散が解答でした。途中式がなくて、理解できません。よろしくお願いします。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

(1)
1/3＋(3/3^2)＋(7/3^3)＋(15/3^4)＋(31/3^5)・・・
=Σ^∞_(n=1) (2^n-1)/(3^n)
=Σ^∞_(n=1) (2/3)^n - Σ^∞_(n=1) (1/3)^n
=2/{3(1-2/3)} - 1/{3(1-1/3)}
=2 - 1/2
=3/2

(2)
Σ^n_(k=1) 1/{√k＋√(k＋1)}
=Σ^n_(k=1) {√k-√(k＋1)}/{k-(k＋1)}
=Σ^n_(k=1) {√(k＋1)-√k}
=(√2-√1)+(√3-√2)+(√4-√3)+・・・・+(√(n+1)-√n)
=√(n+1)-1　→　∞　（ｎ→∞のとき）