場の理論におけるNoetherの定理

質問

Noetherの定理について質問です。
手元の教科書ではNoetherの定理が次のように説明されていました。
場Φ(x)の微小変化
Φ(x)→Φ(x)+εG(Φ,∂Φ)------(1)
においてラグランジアン密度が
δL=ε∂_μ(J^μ(Φ,∂Φ))------(2)
のように、変化が場やその微分の関数のxについての全微分の形にかけるとき作用が不変になり、保存量が存在する。なぜなら(1)をラグランジアン密度に代入してEuler-Lagrange方程式を使うと
δL=∂_μ[(∂L/∂(∂_μΦ(x)))G]------(3)
となるから(2)と(3)から
∂_μ[(∂L/∂(∂_μΦ(x)))G-J^μ]=0
より[ ]内が保存する。

質問は2つあります。

1. 作用が不変なのは全微分を表面項として落とせるからですか？

2. そもそもEuler-Lagrange方程式を使って一般的に(3)のようにδLが全微分の形にかけるのでJ^μという量を導入する意味がないような気がします。つまり(3)の[ ]内が無限遠で0になるということを要請すればいいようなきがするのですが、そうなると一般の変化に対して保存量が必ず存在することになってしまします。私のミスリードだと思うのですがどこが間違ってるのでしょうか？

回答No.2

heboiboro · ベストアンサー

#1です。
概ね良いと思います。

> (1)をラグランジアン密度に代入して(3)が得られますが、これはδL=∂_μ(A^μ)の形をしています。これが表面項として落とせるなら作用が不変になりますが、それは一般には落とせない。仮に落とせたとしても作用が不変になったからといって保存量が存在することは言えていない。
そうですね。
正確に言えば、「一般のφに対して作用積分がその変換で不変に保たれるなら保存量が存在する」と言えると思います。
(3)はEuler-Lagrange方程式の解に対してしか成り立たないので。

ついでに言えば、そもそも最小作用の原理に戻って考えれば、Euler-Lagrange方程式の解に対してδLが(3)のような全微分の形に書けるというのは自然なことです。
何故ならば、そもそも、φを微小に変形したときに一次の変分がゼロになるのがEuler-Lagrange方程式の解の特徴だったからです。
一般のφは、任意の変換に対して変分がゼロになることはないが、それでもあるタイプの変換に対しては変分がゼロになることがある。そのとき保存量が存在する。というのがNoehterの定理です。

お礼

ありがとうございましした。理解できました。

回答No.1

heboiboro

1.
その通りです。

2.
> つまり(3)の[ ]内が無限遠で0になるということを要請すればいいようなきがするのですが、そうなると一般の変化に対して保存量が必ず存在することになってしまします。
なりません。
無限遠で0になるというのは、単に場の量に対する境界条件に関わってくるだけで、それだけから保存則を導くことはできません。

場の理論では保存則は一般的に次の形で表されます。
∂_μ(B^μ) = 0
何故ならこのとき、（適当な境界条件の下で） (d/dt)∫B^0 dV = 0 となるからです。
ですから、場の理論で保存則を見つけるというのは、∂_μ(B^μ) = 0 を（運動方程式の解の上で）満たすようなB^μを見つけることになります。

(2)だけ、もしくは(3)だけからでは、このような形の式を導くことはできません。
それで両方の条件が必要になります。

補足

回答有り難うございます。
2. について
私の理解の誤りを指摘するとしたら次のように思っていいでしょうか？
(1)をラグランジアン密度に代入して(3)が得られますが、これはδL=∂_μ(A^μ)の形をしています。これが表面項として落とせるなら作用が不変になりますが、それは一般には落とせない。仮に落とせたとしても作用が不変になったからといって保存量が存在することは言えていない。

正しい論理としては、作用が不変になることからラグランジアンの変化分がδL=∂_μ(J^μ)となる無限遠で0になる特殊なJという関数でかけて、これが∂_μ(A^μ)に等しいとすることで∂_μ(A^μ-J^μ)=0が導ける。ということで正しいですか？