解析力学：間違いを教えてください

質問

解析力学を勉強中です。

単振り子で、極座標(r,θ)のθ方向についてのラグランジュ方程式を立ててNewtonの運動方程式を導出する例題がありました。
（運動エネルギー T ＝ (1/2)m(Rθ')^2
　ポテンシャルエネルギー U ＝ mgR(1－cosθ)
　として L＝T－U をθ方向のラグランジュ方程式に代入する方法です。）

この方法は理解できたのですが、極座標ではなく直交座標(x,y)で考えるとどうもうまくいきません。
水平方向にx軸、鉛直方向にy軸をとって
T ＝ (1/2) m (x'^2 ＋y'^2), U ＝ mgy
として L ＝ T－U をラグランジュ方程式に代入すると、
・x方向：(d/dt)(mx')＝0
・y方向：(d/dt)(my')＝－mg
となり、x方向に等速運動、y方向に等加速度運動というおかしな結果になってしまうんです。

どこか何が間違えているのかご教授いただけると幸いです。

よろしくお願いします。

回答No.1

noname#221368 · ベストアンサー

ラグランジュ方程式を運動の各自由度に対して適用して良いのは、全ての自由度が独立な場合だけです。単振子なので、最も簡単にはxとyの間に、

　　x^2＋y^2＝R^2　　　(1)

みたいな「拘束条件」がつき、xとyは独立な運動の自由度ではなくなります。

　こういう事があるので、ラグランジュ方程式を導く前に仮想変位なんぞという訳わからんものを導入して、ごちゃごちゃやりませんでしたか？(^^;)。

　で、仮想変位を用いた結論としては結局、(1)のような拘束条件を考慮して独立な自由度だけで系を表せば、運動の各自由度に対してラグランジュ方程式を適用して良い、という事でした。

　実際問題としてこれは、(1)によりxかyをyかxで表して、(x，y)座標におけるラグラジアンを、xかyだけで書き直せという事です。

　でもそんな事するくらいなら最初から極座標(r，θ)を導入し、r＝R＝一定として、θのみでラグラジアンを書いた方が楽です。その時問題になるのが、(x，y)系と(r，θ)系でラグランジュ方程式は同じか？、という問題です。

　もし表現座標によってラグランジュ方程式も変わるなら、(1)を用いてラグラジアンを書き直す面倒さと、どっこいどっこいかも知れません(^^;)。

　ところが任意の座標変換に対してラグランジュ方程式は不変！(^^)、というのがとりあえず解析力学の最大の成果です。だからラグランジュ方程式ばっかり使いましょう！、となります。

お礼

ご回答ありがとうございます。

> ラグランジュ方程式を運動の各自由度に対して適用して良いのは、
> 全ての自由度が独立な場合だけです。

例えば
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1041954245
の惑星の楕円運動では r と θ の間に拘束条件
r = L / (1+εcosθ)
があるかと思いますが、r方向、θ方向それぞれについてラグランジュ方程式を立てているようです。どう考えればよろしいでしょうか？

> 仮想変位を用いた結論としては結局、(1)のような拘束条件を
> 考慮して独立な自由度だけで系を表せば、運動の各自由度に対して
> ラグランジュ方程式を適用して良い、という事でした。

これは仮想仕事の原理の話でしょうか？
そうだとしますと、私の手元にある本やネットを少し探した限りでは「拘束面に垂直な拘束力は考慮しなくていい」という記述ばかりで、「独立な自由度」に関する記述を見つけることができませんでした。
よろしければWebサイトや書籍などをご紹介いただけませんでしょうか。

お手数をお掛けしますがよろしくお願いします。

補足

お礼コメントを書いたあとさらに考えてわかった気がしてきました。
楕円の問題は、r,θをポテンシャルの元でそれぞれ独立として解いて、結果として楕円軌道になる、ということですね。
それに対して振り子の問題は、そもそも取れる位置に制限がついているんですね。

> ラグランジュ方程式を運動の各自由度に対して適用して良いのは、
> 全ての自由度が独立な場合だけです。
というのをふまえてもう一度教科書を読みなおしてみます。
ありがとうございました。