シュミレーション 力学

質問

質量mの質点が、次の運動方程式にしたがって１次元的に運動しているとする

m*(d＾2x/dt＾2)=-αx+βx＾2　(♯1)

ここでxは質点の位置座標、αおよびβは適当な次元を持つ正の定数である。

[1]運動方程式(♯1)を無次元化し、次に１階化することにより、

数値計算に適した形に書き直せ。

[2]任意の初期条件から出発して数値解を求めるための手順書を作成せよ。

人間の言葉で書いてもよいし、Fortranで書いてもよいが、どちらにしても、

あいまいさを可能な限り排除すること。

[考えたこと]

[1]両辺にdx/dtをかけてtについて積分します
m(dx/dt)^2/2=-αx^2/2+βx^3/3 無次元化？？
ここからどうするのか分からないです

[2]どうすることもできなく、全く分からないです。

すごく面倒な問題ですが、お願いします！！

回答No.1

chukanshi

やっていることが全然違う。
[1]
x=(m^a)(α^b)(β^c)X
t=(m^d)(α^e)(β^f)T
a,b,c,d,e,fは未知数。これを、微分方程式に代入。
(m^(a+1-2d))(α^(b-2e))(β^(c-2f))(d＾2X/dT＾2)
=(m^a)(α^(b+1))(β^c)X+(m^2a)(α^2b)(β^(2c+1))X^2
両辺が一致するためには、
a+1-2d=a=2a
b-2e=b+1=2b
c-2f=c=2c+1
以上より、
a=0 b=1 c=-1 d=1/2 e=-1/2 f=0
よって、微分方程式は、
(α^2)(β^(-1))((d＾2X/dT＾2)=X+X^2)
と無次元化できる。
係数(α^2)(β^(-1))を除いた、
(d＾2X/dT＾2)=X+X^2
を解けばよい。

１階化は、
dX/dT=V
dV/dT=X+X^2
の連立１階微分方程式を解けばよい。

[2]
(連立)１階微分方程式を数値的に解く方法（アルゴリズム）は、「オイラー法」とか「ルンゲクッタ法」などがありますが、これらを検索して見て、後は自分で考えなさい。

お礼

ありがとうございました！！