積分

質問

下の問題が分かりません。
(1)はまったくわからなく、(2)は途中まで計算しました。
解けなくて困っています。
どうか教えてください。
よろしくお願いします。

(1)∫（0→π／4）tan＾７X dx

(2)∫(x^2+1)/(x^4-5x^2+4)dx=∫(x^2+1)/(x+2)(x-2)(x-1)(x+1)dx
(x^2+1)/(x^2+1)/(x+2)(x-2)(x-1)(x+1)これを部分分数分解し、
　A/(x+2)+B/(x-2)+C/(x+1)+D/(x-1)
=(x^2+1)/(x^2+1)/(x+2)(x-2)(x-1)(x+1)になるように、
AとBとCとDをもとめて、答えは、
　Alog|x+2|+Blog|x-2|+Clog|x-1|+Dlog|x-1|となればいいので　しょう　か。

回答No.3

arrysthmia

(1) t = tan x で置換して
∫[0→π/4] (tan x)^7 dx = ∫[0→1] (t^7)/(1 + t^2) dt。
右辺の部分分数分解は、
(t^7)/(1 + t^2) = t^5 - t^3 + t - (1/2){ 2t/(1 + t^2) }。

(2) その通り。ただし、
A/(x+2) + B/(x-2) + C/(x+1) + D/(x-1)
= (x^2+1)/(x+2)(x-2)(x-1)(x+1) になるように。
不定積分であれば、初期条件が５個必要なことに注意する。

回答No.2

Tacosan

すみません, #1 は間違いです.
tan^2 x = sec^2 x - 1 を使って
tan^7 x = tan^5 x (sec^2 x - 1) = tan^5 x sec^2 x - tan^5 x
から tan x の指数を落としていってください.

回答No.1

Tacosan

(1) だけだけど tan^7 x = (tan x)(tan^2 x)^3 = (tan x)(sec^2 x - 1)^3.