エレガントな積分方法を知りたい。

質問

（１）∫1/{x((x^2)+1)}dx
（２）∫1/sinxcosxdx
（３）∫(x^3)(x/(a-x))^(1/2)dx
（４）∫1/{(x-a)(b-x)}^(1/2)dx
（５）∫sin(logx)dx
（６）∫x^(2n-1)e^(-x^2)dx
（１）は部分分数に分解するのかと思いきや出来ません。どうしたらいいのでしょう。（３）
は部分積分でしょうか。（２）はtanx=ｔでやろうとしましたが、計算量を必要としたのでやめました。（５）（６）はてつかずです。

回答No.5

nakaizu · ベストアンサー

下の解答の方の補足をします。

(2)についてはtan x=tとおいてもよいです。tan xの微分がわかっていればあとは約分するだけで
∫1/t dt
となります。
(3)は(x/(a-x))^(1/2)=tとするとtの分数関数になりますが、かなり大変です。結果も複雑なものになります。
(5)は部分積分でもできます。2回部分積分すると元と同じ積分がでてくるので移項して整理すればよいのです。
(6)はx^2=tと置換してから部分積分をn回することになります。一般のnの式だと漸化式を作るのがいいでしょう。
有限級数の形の解答になります。

お礼

とても明瞭な解答有難うございます。(2)についてはtan (x/2)=tとやろうとしてたので大変だった事に気付きました。（5）もすっきりしてるとおもいます。〈6〉
ですが、(1/2)I_(n-1)=-te^(-t)+(n-1)I_(n-2)となったのですがこの漸化式を解くんですか？出来ません。積分するほうを逆にしてみるのかな・・・・

回答No.4

grothendieck

(4)については
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=759893
をご参照下さい。(6)については
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=715224
などをご参照下さい。

回答No.3

mirage70

（１）は部分分数に分解するのかと思いきや出来ません。
1/{x((x^2)+1)}=(1/x)-{x/((x^2)+1)}で良いと思います。

お礼

ありがとうございます

回答No.2

wolv

(5)
y = log x とおくしかやりようがない。
y = log x とおくと、
e^y = x

(logの底をeとしましたが、logの底は10にするのが普通でしたっけ？　適切なほうの底を使ってください。)

dy/dx = 1/x = 1/(e^y)
よって、
与式=∫sin y e^y dy
あとは部分積分を使ってとく。

回答No.1

wolv

(1)
x^2 + 1
があるので、x = tanθとおくことを考えてみる。
たぶん、
　元の式=∫(1/tanθ)dθ
になる。（まちがってたらごめんなさい。）

(2)加法定理や倍角の公式で
sinとcosの積になっている項があるのを思い出す。
sin(2x) = 2 sin x cos x
そこで、y = 2x とおいてみる。
たぶん、
　元の式=∫[ 1/{(sin y)/2} ](1/2)dy
= ∫1/(sin y)dy
になる。（まちがってたらごめんなさい。）