不定積分

質問

こんにちは。工学部の大学一年生です。

∫(x^2+a^2)/(x+a)dx

を解けという問題がありました。

僕は

与式＝∫((x+a)^2-2ax)/(x+a)dx=∫(x+a-2ax/(x+a))dx=x^2+ax-2alog|x+a|

と解いたのですが、教科書の解答が
x^2-ax+2a^2*log|x+a|
となってました。
僕の答えのどこが間違っているか教えてください。

回答No.6

info22 · ベストアンサー

I=∫[{(x^2-a^2)+2a^2}/(x+a)]dx
=∫[(x-a)+{2a^2/(x+a)}]
=(1/2)x^2-ax+{2a^2*log|x+a|]
ですね。
検算で
[(1/2)x^2-ax+{2a^2*log|x+a|]'=(x-a)+{2a^2/(x+a)}
={(x^2-a^2)+2a^2}/(x+a)
=(x^2+a^2)/(x+a)
が出てきます。

＞与式＝∫((x+a)^2-2ax)/(x+a)dx
＞=∫(x+a-2ax/(x+a))dx
＞=x^2+ax-2alog|x+a|　←ここが間違いです。

お礼

計算勘違いしてしまいました。
ご回答ありがとうございます。

回答No.5

noritomo48

たぶん解けました。
回答はたぶん少し間違っていると思います。

与式＝∫((x+a)(x-a)+2a^2)/(x+a)dx==∫(x-a+2a^2/(x+a))
=(1/2)x^2-ax-2a^2*log|x+a|

どうでしょうか？

お礼

ご回答ありがとうございました。
そのとおりですね。

回答No.4

noritomo48

答えはわかりませんが、あなたの答えに疑問が2つ。
∫-2ax/(x+a)dx＝-2alog|x+a|
→∫-2a/(x+a)dx＝-2a∫1/(x+a)dx＝-2alog|x+a|だと思いますが。
xがじゃまをします。分母にx^2があるならべつですが。

∫x dx＝x^2
→∫x dx＝（1/2）x^2ではないでしょうか？

最後に、
x^2-ax+2a^2*log|x+a|も微分しても∫(x^2+a^2)/(x+a)dxはならなかったです。
まあ、やったのが3年前なのでうるおぼえですが間違っていたらごめんなさい。

お礼

ご回答ありがとうございます。

＞∫x dx＝x^2
→∫x dx＝（1/2）x^2ではないでしょうか？
すみません。僕の書いた解答間違ってました。

どうも計算ミスしてたようです。

回答No.3

ozunu

x^2+a^2=(x+a)(x-a)+2a^2
とした方が・・・いや、好みの問題ですが・・

お礼

そのほうが解きやすいですね。
ご回答ありがとうございました。

回答No.2

noname#101087

>∫(x^2+a^2)/(x+a)dx ....
>∫((x+a)^2-2ax)/(x+a)dx=∫(x+a-2ax/(x+a))dx=x^2+ax-2alog|x+a| と解いたのですが、
>教科書の解答が x^2-ax+2a^2*log|x+a| となってました。

部分分数を完遂してないからでしょうか。
　{(x+a)^2-2ax}/(x+a) = (x+a)^2-2a-2a^2/(x+a)

お礼

ご回答ありがとうございます。
＞{(x+a)^2-2ax}/(x+a) = (x+a)^2-2a-2a^2/(x+a)
はどうゆうことでしょうか？

回答No.1

banakona

＞∫(x+a-2ax/(x+a))dx
ここで分子にｘの項があるから、　∫(x+a-2ax/(x+a))dx=∫(x+a-（2a(x＋ａ)－２ａ^2）/(x+a))dx
となって、　=∫(x+a-2a＋２ａ^2/(x+a))dx=∫(x－a-2a^2/(x+a))dx
となるんだけど、教科書の解答のｘ^2に１／２がついていないのはなぜ？

お礼

回答の1/2は付け忘れです。回答ありがとうございました。解けました！