大学数学 積分

質問

∫√((x^2)+a)dxが
1/2(x√((x^2)+a)+alog│x+√((x^2)+a)│)+C
になるようですが、なぜそうなるのか分かりません。計算方法を教えてください。

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

＞t=√(x^2+a)+xとおくとt-x=√(x^2+a)
t^2-2tx+x^2=x^2+a、
t^2-2tx=a
t^2-a=2tx
x=(t^2-a)/(2t)
dx/dt={4t^2-2(t^2-a)}/(4t^2)
=(t^2+a)/(2t^2)
∫√(x^2+a)dx=∫(t-x){(t^2+a)/(2t^2)}dt
=∫{t-(t^2-a)/(2t)}{(t^2+a)/(2t^2)}dt
=∫(t^2+a)^2/(4t^3)dt=∫(t^4+2at^2+a^2)/(4t^3)dt
=(1/4)∫tdt+(a/2)∫1/tdt+(a/2)^2∫1/t^3dt
=(1/4)(1/2)t^2+(a/2)log|t|+(a/2)^2*(-1/2)1/t^2+C(定数)
=(1/8)t^2+(a/2)log|t|-(a^2/8)(1/t^2)+C(定数)
t=√(x^2+a)+x
t^2=2x^2+a+2x√(x^2+a)
1/t^2=1/{2x^2+a+2x√(x^2+a)}
={2x^2+a-2x√(x^2+a)}/{(2x^2+a)^2-4x^2(x^2+a)}
={2x^2+a-2x√(x^2+a)}/(4x^4+4ax^2+a^2-4x^4-4ax^2)
={2x^2+a-2x√(x^2+a)}/a^2でxの関数に戻すと
∫√((x^2)+a)dx
=(1/8)[2x^2+a+2x√(x^2+a)]+(a/2)log|√(x^2+a)+x|-(a^2/8){2x^2+a-2x√(x^2+a)}/a^2+C(定数)
=(1/8)[2x^2+a+2x√(x^2+a)]+(a/2)log|√(x^2+a)+x|-(1/8){2x^2+a-2x√(x^2+a)}+C(定数)
=(x/2)√(x^2+a)+(a/2)log|√(x^2+a)+x|+C(定数)

お礼

なるほど、分母の有理化ですね！！
途中はどうなることやらと思いましたが、有理化するとはらはらと解けていきますね。

丁寧にありがとうございました！

回答No.1

Tacosan

微分したら被積分関数に戻る.