２次不等式がわかりません。

質問

数Iなのですが、
　　x2-2x+2＞0
　　x2+4x+9＞0　の解が全ての実数になるのが、よく分かりません…。
簡単な問題だとは思うのですが、誰かお願いします。

回答No.1

kumipapa · ベストアンサー

x^2-2x+2 = (x-1)^2 + 1 ＞ 0
x にどんな実数を入れても (x-1)^2 ≧ 0 で、それにさらに 1 を足すので、(x-1)^2 + 1 ＞ 0　が成立します。故に全ての実数がこの二次不等式の解となります。 y = x^2-2x+2 という放物線のグラフを書くと、放物線が x 軸と交点を持たず、x 軸の上に浮いているグラフになるということです。x^2-2x+2=0 が実数解を持たない（判別式＜0である）事からも同じことが分かりますね。

x^2+4x+9 = (x+2)^2 + 5 ＞ 0
も同様です。

f(x) が二次式として f(x) ＞ 0 というような二次不等式を解く場合には、多分、f(x) を因数分解しようとするのでしょうが、因数分解するというのは、f(x) = 0 の解を求めようとしているのと同じことです。f(x) が簡単に因数分解できなくても、f(x) = 0 を（解の公式で）解いて、解α, β を求めれば、f(x) = a(x - α)(x - β) とできるので二次不等式も解けますね。もし、f(x) = 0 の実数解が無ければ、y = f(x) は x 軸と交点を持ちませんから、f(x)＞0 は常に成立する（全ての実数が解）か、解無しかのどちらかです。どちらかはグラフを書いて（または平方完成して）考えましょう。

x^2 + 4x + 5 ＞ 0 　→　全ての実数で成立
-x^2 - 4x - 5 ＞ 0　→　解なし

お礼

とてもよく分かりました！
丁寧に答えてくださり、ありがとうございました。

あと一つ聞きたいことがあって、解なしor全ての実数、は上に凸か下に凸かの違いってことで、あってますよね？

回答No.3

92s

最初に判別式Ｄで場合分けするといいと思います。
最初はグラフを書いてください。以下は下に凸の場合です。
F(x)=0としたときの解をＰとＱにします。重解のときはＪ。

■Ｄ＞０ ⇒　接点を２個持つ！
(a)　F(x)＞0　ｘ＜Ｐ、Ｑ＜x　
(b)　F(x)＝0　ｘ＝Ｐ、Ｑ
(c)　F(x)＜0　Ｐ＜ｘ＜Ｑ

■Ｄ＝０ ⇒　接点を１個持つ！
(a)　F(x)＞0　ＸはＪ以外の実数すべて
(b)　F(x)＝0　ｘ＝Ｊ
(c)　F(x)＜0　解なし

■Ｄ＜０ ⇒　グラフとＸ軸に接点なし
(a)　F(x)＞0　すべての実数
(b)　F(x)＝0　解なし
(c)　F(x)＜0　解なし

お礼

分かりやすくまとめてくだっさて、ありがとうございました。
ノートに写して、見ながら解いていきます！！

回答No.2

kumipapa

＞　あと一つ聞きたいことがあって、解なしor全ての実数、は上に凸か下に凸かの違いってことで、あってますよね？
その通り。ちゃんとグラフを描いて（または頭の中に描いて）考えてますよね。
f(x)が二次関数で、f(x) = 0 が実数解を持たないとき、y = f(x) のグラフは x 軸とは交点を持たず、x 軸の上か下かどちらか一方にしかない。
y = f(x) のグラフが下に凸なら、f(x)＞0 の解は全ての実数、f(x)＜0 は解なし。
y = f(x) のグラフ が上に凸なら、f(x)＞0 は解なし、f(x)＜0 の解は全ての実数。

お礼

よく分かりました！
これからも、頭の中でイメージしながら解いていきたいと思います。
回答ありがとうございました。