二次不等式の虚数解

質問

なぜ二次不等式には虚数解が無いんでしょうか？
よくある回答「虚数に大小は無いから」という前提は理解してるのですが、その上で納得できません。
例えば、x^2-1<0の解は、-1<x<1だけではなく、x＝ki（kは全ての実数）も解になる気がします。なぜこちらは解にならないのでしょうか。

回答No.3

noname#256179 · ベストアンサー

>例えば、x^2-1<0の解は、-1<x<1だけではなく、x＝ki（kは全ての実数）も解になる気がします。なぜこちらは解にならないのでしょうか。

それも解になるのでは。

>なぜ二次不等式には虚数解が無いんでしょうか？

背景がよくわかりませんが、虚数解がある/ないの問題ではなく、学校のテストなどで不等式が出た場合の暗黙の（？）前提が実数の範囲で解を求めることになっている…というだけのことでは。どの範囲でxを求める問題なのか（整数の範囲なのか、実数の範囲なのか、複素数の範囲なのか…）が明示されれば解決するんじゃないでしょうか。

補足

他の方の回答へ補足したばかりですが、自分で色々調べてて、何となく自己解決しました。
二次不等式に虚数解はあるけど、あまりに計算が厄介なので（x^2 -1<0のように単純でないので）、高校数学では暗に実数範囲のみとしてるとのことでした。
逆に大学数学になると、二次不等式なんていう簡単なものは扱わなくなるようです。
そういう事情があって、「虚数解を含む二次不等式」という問題が世の中には無いんですね。これで納得しました。

回答No.4

kiha181-tubasa

＞「虚数に大小は無いから」……
　だから２次不等式には虚数解はないのです……と言っても納得できないのですね。
　２次式を因数分解して実数の範囲で因数分解できない（例：x^2+1）二次不等式は「すべての実数を解とする」か「解なし」になる事は，すでに学習済みですね。

　振り返って，虚数に大小がないことについてもう一度振り返ってみましょう。
一番基本的なiは正の数なのか負の数なのかを数学Ⅰの知識を使って調べてみましょう。

i>0とすると，この両辺にiをかけます。i>0ですから，不等号の向きは変わりません。
i*i>0*i
i^2>0
-1>0
これは矛盾ですね。

それなら，i<0とします。このこの両辺にiをかけます。i<0ですから，不等号の向きが変わります。
i*i>0*i　（不等号の向きが変わりました）
i^2>0
-1>0
これも矛盾ですね。

iは正でも負でもないならあとは０しかありません。これも
i=0
i^2=0
-1=0
となって矛盾。

従って虚数単位iですら大小関係を考えることができないのです。
だから不等式には実数とい条件が付いてくるのです。

補足

＞虚数解が無いと回答してる方
x^2 -1<0の時に、なぜx＝ki（kは全ての実数）がダメかを具体的に教えて下さい。
i<xやi>xがダメなのは分かってますが、x＝kiはダメではないはずです。

＞それも解と回答されてる方
数学の世界では、「不等式を解け」と書いた時点で、暗に「実数範囲の解を求めよ」という意味らしいのです。等式とは異なり、虚数解が無いから、明示的に書く必要が無いとのこと。
それが納得出来ないのです。
大人になって疑問に思った次第なのでテストの機会は無いんですが、たぶんテストで虚数解を書くと間違いとされます。

回答No.2

asuncion

x = kiって、x^2 - 1 < 0の解に本当になりますか？

回答No.1

tootattatato

いみじくも質問者さんが仰るように、虚数には大小が無いからです。

不等式の求めるのは数の大小ですから、大小の無いものにそれを要求しても始まらない、ということだと考えます。