二次不等式

質問

ａを０でない実数とするとき、二次不等式ax~2-3a~2x+2a~3≦0の解の集合をＡ、x~2+x-2≧0の解の集合をＢとする時

（１）Ａ∩Ｂが空集合となるようなａの値を求めよ。
（２）Ａ∪Ｂが実数全体の集合となるようなａの値の範囲を求めよ。

わかる方よろしくお願いします。

回答No.4

kumipapa · ベストアンサー

＞　ａと数字をどう比べるのでしょうか？

分かりにくければ、数直線を書いて考えるのかな。
数直線を書いて、そいつに B の範囲を書き込もう。x≦-2 の範囲と、1≦x の範囲をたとえば赤く塗っちゃう。

A∩B が空集合ってことは、A をこの数直線に書き込んだとき、B (赤く塗ったとこ）と A とが交わりを持たないって事。数直線上で赤く塗られていない範囲は -2 ＜ x ＜ 1 なので、A がこの範囲にすっぽり入ればよい。
a＞0 のとき、Aは (0＜) a ≦ x ≦ 2a だから、A が -2 ＜ x ＜ 1 の範囲にすっぽり入るためには、2a＜1 であることが必要十分。ゆえに、0＜a＜ 1/2 が a＞0 の場合の解。
a＜0 のとき、A は x ≦ 2a, a ≦ x なので、a をどのような値に定めても、A は B（数直線の赤く塗ったところ）と重なりを持つので、A∩B は空集合にはなりませんね。

A∪B が実数全体ってことは、上の数直線に A の範囲を書き込んだときに、A と B（赤く塗ったところ）とで数直線が全部覆われればよい。
a＞0 のとき、A は (0＜) a ≦ x ≦ 2a なので、a＞0 であるかぎりは数直線上の -2 ＜ x ≦ 0 の領域を A で( Bでも) 覆うことはできない。だから、a＞0 ではだめ。
a＜0 のとき、A は x ≦ 2a, a ≦ x なので、a ≦ -2 ならば、B で覆われていない -2＜x ＜ 1 の範囲を A が覆うことができる。それ以外の a では覆えない。

数直線を書いてご自分で確かめてみてください。

回答No.5

take_5

ax~2-3a~2x+2a~3＝a（x-2a）*（x－a）≦0　（Ａ）‥‥(1)。
これは、a＞0の時は、x-2a≧0、x－a≦0、or、x-2a≦0、x－a≧0。‥‥(1)。
又、a＜0の時は、x-2a≧0、x－a≧0、or、x-2a≦0、x－a≦0。‥‥(2)。
x~2+x-2＝（x-1）*（x＋2）≧0　、これは、x≧1、or、x≦-2‥‥(3)とする。

xを通常のy軸、aを通常のx軸にとり、(1)～(3)の領域を図示して、a＝k　（a軸に垂直な直線）を色々と動かしてみれば、

＞（１）Ａ∩Ｂが空集合となるようなａの値を求めよ。

となるのは、x-1≧0　からa＝kとx-2a＝0との交点が、Ａ（1/2、1）が境界になり、0＜a＜1/2となるのは、殆ど自明。

（２）Ａ∪Ｂが実数全体の集合となるようなａの値の範囲を求めよ。

これも、全ての領域を満たすのは、a≦-2となるのも自明だろう。

回答No.3

take_5

ありゃ。、今見たらとんでもない書き込みミスをしてる。

＞ax~2-3a~2x+2a~3＝a（x-a）*（x－a＾2）≦0　（Ａ）‥‥(1)、

　　　　　　↓

ax~2-3a~2x+2a~3＝a（x-2a）*（x－a）≦0　（Ａ）‥‥(1)、

a＞0、a＜0で、a＝0の3つの場合に分けるだけでいいね。。。。。。笑
数直線で考えても良いよ。

回答No.2

kumipapa

＞　Aについて　a(x-2a)(x-a)≦0
＞　Bについて　(x+2)(x-1)≧0　x≦-2、x≦1　・・・1≦x の間違いね
＞　そして　Ａの範囲はB以外の-2＜x＜1　なのでは。。。

ほとんど終わってるじゃない。
Ａについて、
a＞0 のとき a(x - 2a)(x - a) ≦ 0　⇔　(x - 2a)(x - a) ≦ 0　⇔　a ≦ x ≦ 2a
a＜0 のとき a(x - 2a)(x - a) ≦ 0　⇔　(x - 2a)(x - a) ≧ 0　⇔　x ≦ 2a, a ≦ x

で、Ｂ： x≦-2, 1≦x に対して、
A∩B が空集合なら・・・
A∪B が実数全体なら・・・
で a の範囲を求めるだけでしょ？　A∩B が空集合のときは 0＜a＜1/2、A∪B が実数全体のときは、a≦-2 では？

補足

Ｂ： x≦-2, 1≦x に対して、
A∩B が空集合なら・・・
A∪B が実数全体なら・・・

ここがよくわかりません...
ａと数字をどう比べるのでしょうか？

答えあっていました。

回答No.1

take_5

丸投げだから、ヒントだけ。

普通は、先ずa＞0、a＜0で、a＝0の3つの場合に分け、次にその中で、a＾2-a＝a*（a-1）の正負で場合分けするんだろうが面倒なので、止めとく。

ax~2-3a~2x+2a~3＝a（x-a）*（x－a＾2）≦0　（Ａ）‥‥(1)、x~2+x-2＝（x-1）*（x+2）≧0　（Ｂ）‥‥(2)
(1)と(2)をa-x平面上に図示する。aを通常のx軸、xを通常のy軸にとる。
そこで、a＝kとして動かしてみる。
（1）Ａ、and、Ｂの範囲がない時のaの値の範囲を定める。
（2）Ａ、or、Ｂの範囲が全ての実数値であるときのaの値の範囲を定める。

補足

すみません。よくわかりませんでした。
質問前に自分なりに解いた内容です。

Aについて　a(x-2a)(x-a)≦0
Bについて　(x+2)(x-1)≧0　x≦-2、x≦1
そして　Ａの範囲はB以外の-2＜x＜1　なのでは。。。
となってます。