２次不等式

質問

2次方程式a(x＾2)-4x+a+3=0が-1≦x≦3の範囲に、異なる２つの実数解をもつとき、aの値の範囲を求める問題で、aは実数とすると

(i)a>０のとき
f(x)=a(x＾2)-4x+a+3とおくと

D/4=4-a(a+3)>０
より　(a+4)(a-1)<0
-4<a<1　…(1)
2次関数の軸の方程式は
x=2/a
より
-1<(2/a)3
より
a>-2、　(2/3)<a …(2)

f(-1)=2a+7≧0より a≧-(7/2) …(3)
f(3)=10a-9≧0より a≧(9/10)…(4)

a>0、(1)、(2)、(3)、(4)より
9/10≦aく1
になるらしいのですが答えが合いません

どこかおかしいですか？

回答No.5

sanori · ベストアンサー

＞＞＞＞＞
長い回答どうもありがとうございます
ご苦労様です
-4<a<1から
a>0なので
0<a<1
と考えていいのでしょうか？

はい。そうですよ。

ただ、私は数学があまり得意じゃないですし、解き方の方針が、他の方々のに比べて遠回りになっているような気がします。
一応、大学の理工系は卒業してますが、
この問題が入試で出題されてたら、落ちてたかも、ですね。（笑）

回答No.4

secretd

前回答えた部分で間違っていた部分がありました．
＞ -1<(2/a)<3は，-1<(2/a)と，(2/a)<3を独立に解いて，共通部分を求めるだけです．
と書いちゃったのですが，「共通部分」じゃなくて，それぞれの部分の和集合が解でした．つまり，「前の不等式の解の範囲」または「後の不等式の解の範囲」が解でした．混乱させたら申し訳ないです．

で，#4さんの補足に書いてあることで別にいいのですが，要は
(a)a>0
(b)-4<a<1　…(1)
(c)a>-2または(2/3)<a
(d)a≧-(7/2)
(e)a≧(9/10)
の共通範囲を求めりゃいいんです．別に途中でa>0の条件をいちいち当てはめる必要はないかもしれません．

最後に．ずいぶんたくさん質問されていますね．それだけ学習に意欲的に取り組んでいると見ることもできますが．
前回の質問では質問した部分が解決したから締め切ったんでしょうけど，ちゃんと解ききるまで質問をあけておいたほうがいいのではないのですか？質問に答えた側としては，わかったといって質問を終えたのを見ているのに，また同じような質問を立てられていたら立場ありません．

補足

ありがとうございます
数直線で書くときは

(a)0<a<1　…(1)
(b)(2/3)<a
(c)a≧(9/10)
の重なった部分が範囲ということですよね？

回答No.3

mister_moonlight

まだ、この問題をやってるんですか。
貴方が最初に質問されたときに、私が既に答えています。
下のＵＲＬをもう一度見てください。
aの正負での場合わけは手間がかかるので、それによらない解法を既に示したはずです。
但し、軸については、-1＜2k＜3に訂正します。
何でもかんでも質問しないで、落ち着いてじっくり自分の頭で考えてください。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=2009093

お礼

合ってますか？

補足

わかりました
aは0くaく1
の範囲内なので

(1)の0くaく1
(2)のa>(2/3)
(4)のa≧9/10
の数直線を書いて
３つの条件が重なった部分が
(9/10)≦a<1
なんですね

回答No.2

sanori

2次方程式a(x＾2)-4x+a+3=0が-1≦x≦3の範囲に、異なる２つの実数解をもつとき、aの値の範囲を求める問題で、aは実数とすると

(i)a>０のとき
f(x)=a(x＾2)-4x+a+3とおくと

D/4=4-a(a+3)>０
より　(a+4)(a-1)<0
-4<a<1　…(1)　←ここがおかしい

a+4>0 なので a<1　→　0<a<1　ア

a≧1 のときは　a+4≦0 なので　a≦-4　←a≧1 の条件満たさず。
0<a<1 のときは　a+4>0　なので a>-4　→ 0<a<1　イ

ａ＞０　のときは、アまたはイ
結局、a>0 のとき 0<a<1

そして、次に、
a<0
のお仕事が残ってます。

そして得られたａの範囲は、単なる「実数解を持つ条件」に過ぎないので、
さらに　-1≦x≦3　の範囲に解を持つ条件を見つけるお仕事が残ってます。

そういうふうに解く問題じゃーない気がしますが。

f(x) = a(x＾2)-4x+a+3
二次方程式なので、ａ≠０　なので
g(x) = f(x)/a = x^2 - (4/a)x + (1+3/a)
と置けます。
これも解は同じになります。

平方完成すれば
g(x) = (x - 2/a)^2 - 4/a^2 + 1 + 3/a
　= (x - 2/a)^2 + (a^2 + 3a -4)/a^2
　= (x - 2/a)^2 + ((a + 3/2)^2 - 9/4 - 4)/a^2
　= (x - 2/a)^2 + ((a + 3/2)^2 - 25/4)/a^2
　= (x - 2/a)^2 + ((a + 3/2)^2 - (5/2)^2)/a^2
　= (x - 2/a)^2 + (a + 3/2 + 5/2)(a + 3/2 - 5/2)/a^2
　= (x - 2/a)^2 + (a + 4)(a - 1)/a^2　＝０

(x - 2/a)^2 = - (a + 4)(a - 1)/a^2

ここで、
１．
　(a + 4)(a - 1)＜０　でなければならない。

２．
２つの解は　－１　≦　解　≦３　でなければならない。

場合分けは、a<-4 , -4<a<1 , 1<a の３種類。

まず、上記「１」だけ考える。

a<-4 のとき
a-1>0 -> a>1　だめ

-4<a<1 のとき（a+4>0 , a-1<0)
a>4 だめ
a<1　-> -4<a<1　ア

1<a のとき
a>-4 -> a>1　イ
a>1 -> a>1　ウ

ア、イ、ウ　より
-4<a<1　または　1<a　　・・・エ
に絞られた。

次に、上記「２」を考える。
(x - 2/a)^2 = - (a + 4)(a - 1)/a^2
x = 2/a±√((- (a + 4)(a - 1))/a)
２つの解は、両者の平均を中心に
±√((- (a + 4)(a - 1)))/a
という振れ幅がある。
この振れ幅が最大のとき、
ｘ＝－１、ｘ＝３
という解になる。
つまり、解の振れ幅が±２のときが、ちょうどギリギリの条件になる。

つまり
√((- (a + 4)(a - 1))/a) ≦ ２
- (a + 4)(a - 1)/a ≦ 4
-a(a + 4)(a - 1) ≦ 4a^2

-a(a^2 + 3a -4) ≦ 4a^2

a^3 + 3a^2 -4a ≧ -4a^2

a^3 + 7a^2 -4a ≧ 0
a((a+7/2)^2 - 49/4 -4) ≧ 0
a((a+7/2)^2 - 65/4) ≧ 0

a>0 では
(a + 7/2)^2 ≧ 65/4　かつ　a>0　カ

a<0 では
(a + 7/2)^2 ≦ 65/4　かつ　a<0　キ

私、計算が非常に苦手なので、すでに、この時点で、どっか間違えていそうな気がします。
この辺でやめときます。

考え方としては、たぶん合ってると思いますので、
上記の続きをやって
「（エかつカ）または（エかつキ）」
という範囲が答えになりそうです。

補足

長い回答どうもありがとうございます
ご苦労様です
-4<a<1から
a>0なので
0<a<1
と考えていいのでしょうか？

回答No.1

take_5

自分で仮定した「a＞0」という条件を軽視しています。

最後の数直線の段階でa＞0を使わないのならば、途中の段階で
-4<a<1　…(1)　→　　0＜a＜1。
a≧-(7/2) …(3)　→　0＜a。つまり、(3)は不要です。

となります。

補足

-4<a<1　…(1)　→　　0＜a＜1。
の0＜a＜1。はどこからでたのですか？

(2)の
a>-2も
a>0に反するので数直線に書くときは要らないですか？