数I方程式と不等式の問題

質問

【問題】
２つの二次方程式
ｘ＾２＋ｋｘ＋２＝０・・・(1)
ｘ＾２＋２ｘ＋ｋ＝０・・・(2)
が共通の実数解をもつように定数ｋの値を定めよ

【解答】
(1)－(2)より、
（ｋ－２）ｘ＋２－ｋ＝０
（ｋ－２）（ｘ－１）＝０
∴ｋ＝２またはｘ＝１
（i）ｋ＝２のとき、(1)、(2)はともにｘ＾２＋２ｘ＋２＝０となるが、判別式D/4=1-2=-1<0より、実数解をもたない
（ii）ｘ＝１のとき、これが(1)、(2)の解になる条件は、
３＋ｋ＝０よりｋ＝－３
以上より、求めるｋの値はｋ＝－３である

↑問題集の解答はこのようにになっています

ちなみに私は
(1)＋(2)で２ｘ＾２＋（２＋ｋ）ｘ＋２＋ｋ＝０
この判別式D＝（２＋ｋ）＾２－８（２＋ｋ）
　　　　　　　　＝（ｋ＋２）（ｋ－６）
と、(1)－(2)ではなく(1)＋(2)をしてしまいました。

なぜ足すとどこがどういけないのか分からないのですが、説明できる方がいたらお願いします…

回答No.5

FT56F001 · ベストアンサー

「(1)(2)が共通の実数解を持つならば，
　(1)(2)を足した二次方程式も実数解を持つ」は正しいです。

よって，判別式でD＝(k+2)(k^6)≧0，すなわち
k≧6またはk≦-2　
までは言えますね。

では，逆に「k≧6またはk≦-2」だったら共通の実数解があるのか，
と言うと，何も分かりません。

脱線ついでに判別式にこだわってみると，
(1)が実数解を持つ条件からk^2-8≧0。よってk≧2√2またはk≦-2√2。
(2)が実数解を持つ条件から4-4k≧0。よってk≦1。
これらの共通部分をとると，k≦-2√2
少しは範囲を絞れたのですが，
まだ核心はつけないですねぇ。

間違いではないけれど，
「共通の実数解をもつように定数ｋの値を定める」の目的には，
まだまだ届かないのです。

他の回答者さんもおっしゃるように，
「(1)(2)からなるべく簡単な式を作って，kに対する条件を詰めていく」
のが，この手の問題への定石です。

お礼

この範囲じゃどうしてだめなのかがわかってなかったのですが、これを読んでわかりました！
目的に届かないことやってるからだったんですね（＾＾；）
間違いの理由がわからずもやもやしてたんですがすっきりしました！
ありがとうございました☆

回答No.4

hrsmmhr

共通解を持つとき
解があるかないか以前に二つのグラフ
y=x^2+2x+kとy=x^2+kx+2
の交点について考えるのには意味があって
(交点がy=0のとき解なので)
そのために二つのyが等しいとして引くことには意味がありますが
足しても何の共通解に対する性質を吟味することになってません

お礼

なるほど…
自分は問題の意味がよくわかっていませんでしたね；
ありがとうごさいました☆

回答No.3

noname#145525

間違いではありません。連立方程式を解く過程で（１）+（２）をするか（１）－（２）をするか、だけの違いです。しかし上記計算ではまだまだ途中です。ていうか（１）+（２）をやっても計算は全然楽になりません。思いっきり実直に考えると、
（１）を解く
（１）が実数解を持つようにする
（２）を解く
（２）が実数解を持つようにする
（１）の２解と（２）の２解が一致する組合せを見つける
を計算すればいいのです。ここで（１）ー（２）を計算すると（１）と(２）を満たす解を求める操作が非常に楽になりますが、（１）+（２）を計算しても上記の実直な計算とほとんど同じです。

お礼

なるほど！解答の意味がよくわかってなかったのですが理解できました！
ありがとうごさいました☆

回答No.2

Tacosan

足すこと自体は (意味があるかないかを無視すれば) 問題ないのですが, 判別式から何をするつもりなんでしょうか?

お礼

＃５さんの冒頭に書いてあるような考え方をしたもので…；

回答No.1

DJ-Potato

ｘ＾２＋ｋｘ＋２＝０・・・(1)
ｘ＾２＋２ｘ＋ｋ＝０・・・(2)
が共通解をもつので、
ｘ＾２＋ｋｘ＋２＝ｘ＾２＋２ｘ＋ｋ＝０・・・(3)
です。

左辺・中辺を取りだして、
ｘ＾２＋ｋｘ＋２＝ｘ＾２＋２ｘ＋ｋ
を解けばいいのです。これは、
(1) - (2) = 0
ですよね。

お礼

なるほど！もやもやしてたのがぱっと晴れました！
ありがとうごさいました☆