２次不等式の解の答え方について

質問

先日、２次不等式
（ x - 3 )^2 > 0
の解を巡って議論になりました。
この解は、教科書には、３　以外のすべての実数、
と出ています。

これを、
x < 3 , 3 < x
と答えてもいいだろうか？
と１人が問い、
上の解より１歩手前、という感じだが、
まあいいんじゃない、
と１人が答えました。

もう1人(私）が、
x ≠ 3
( x ノットイコール　3)
でもいいですね、
と言うと、
そらあかん、
と２人が言うのです。

x ≠ 3である実数、と答えるならいいが、
x ≠ 3　だけならダメだ。

私は、
実数は、x < 3 , x = 3 , x > 3
の３つの場合しかなく、
x ≠ 3　は、
x < 3 , x > 3
と同値と考えているので、
２人の意見にまったく納得できませんでした。

この事に関して、ぜひお教えくださいますよう、お願いします。

回答No.9

noname#24477 · ベストアンサー

＃３です。もう一度書かせてもらいます。
私は質問者の意見に賛成です。

「不等式を解け」というのは、この不等式を満たす実数ｘをすべて求めなさい。（集合として）
ということです。
再度言いますが全体集合は実数全体です。
実数全体というのが前提の問題です。
それ以外のときは問題文に全体集合は何かを断るべきです。
それを答に実数と書いてないから減点したらやりすぎです。
ｘ≠３のような表し方は集合として「集合｛ｘ｜ｘ＝３｝の補集合」
という意味としてとらえているわけで
何の問題もありません。
教科書などではそこまでくどくど解説するのは面倒なので
使っている教科書は少ないかも知れませんが、問題集
の解答例ならあると思います。
なお
x<3,3<x
のような表現は教科書でも普通に使われます。

式は文脈（問題）の中で考えるべきで同じ式でも
当然違う意味で使うこともあります。

お礼

数学のできる２人から、真っ向から反対され、反論しましたが、受け付けてもらえませんでした。
このように、２度にわたり、明快に答えをくださり、ありがとうございました。

補足

まだ、書き足したいことがあるので、この場を借りて追加させていただきます。

「２次不等式 ( x - 1 )^2 - 4 < 0
を解け。」
という問題の解答は、
「括弧をはずして、 x^2 - 2 x + 1 -4 < 0
　整理して、　　　　x^2 - 2 x　- 3 < 0
因数分解して、　（ x + 1 ) ( x - 3 ) < 0
したがって、２次不等式の解は、
　　　　　　　　　　　- 1 < x < 3 」
です。ところが、この不等式は、x = 1 + a i ( a は任意の実数）に対して成り立ちますから、解の値の集合は、
｛x|- 1 < x < 3 , x　は実数｝∪｛x|x = 1 + a i ( a は任意の実数）}
と考えられます。
しかし、高校の数学では、不等式の解の値は、実数のみを考えるため、上の問題の解を
「- 1 < x < 3 ,x = 1 + a i ( a は任意の実数）」---(*)
と書かなくて良いわけですね。もし虚数も候補に入れているのならば、このような基本的な２次不等式も、(*）のように厄介なものになってしまいます。
そうなっていないことが、「実数全体というのが前提の問題」である証ですね。

No.3のところで既に、
「x^2<0　に対して「解なし」もだめと言うんでしょうか？
（厳密には「実数ｘは存在しない」ではありますが）」
と指摘していただいていました。
x^2<0　は｛x|x = a i ( a は任意の実数）}　に対して成り立ちますから、
「解なし」としている時点で、「虚数を解の候補からはずしている」ことになります。
--------------------------------------------
訂正１件。
No.6の方への「回答に対する補足」の１８行目、
「その後の３行の等号成立確認は不要で、」
のところは、
「その後の２行の等号成立確認は不要で、」
のまちがいです。訂正させていただきます。

回答No.11

stomachman

No.10への「お礼」についてコメントします。

(1) 論理式の読み方は、ご推察の通りです。すなわち、
∀x(x∈R ⇒ (x∈P ⇔（ x - 3 )^2 > 0))
は
『任意のxについて、もしxがRの要素ならば、「xはPの要素である」と「（ x - 3 )^2 > 0」とが同値である。』
と読みます。（論理学を学んでないのにこれを論理式だと認識したばかりか、読んでみようとなさった、というのは感心しました。そのうえ、結果が正解なんだから、こりゃすごいです。）

(2)
> 高校数学では、解がP={x | x∈R かつ (x＜3 または x＞3)}
> のとき、単に　x＜3 または x＞3
> という条件の部分だけを書き、x∈R は、書きません。

本当にそう確言できるのなら、なんでこのご質問を投稿なさったのでしょうか。
というのも、もしそういうキマリならば、解が{x | xは実数 かつ x≠3} のとき、単にx≠3という条件の部分だけを書き、xは実数（x∈R） は、書かないのがキマリであるわけです。ならば、「x ≠ 3である実数、と答えるならいいが、 x ≠ 3だけならダメだ」という意見は（すなわち「{x | xは実数 かつ x≠3}は不正解で、{x | xは実数 かつ xはx≠3である実数}なら正解だ」という意味の意見ですから）直ちに却下できるでしょうに。

いや、やっぱりそうは確言できなくて意見が割れたからこそのご質問だと思います。

(3)
> 質問に挙げられた問題とは別の問題とおっしゃっていますが、よくわかりません。

「別の問題」だと言うのは、二つ目の●以降の部分は設問が違うからです。すなわち、もしも（解を問う問題ではなく、）必要十分条件を問う問題だったとしたら、
x≠3
は全く文句のつけようがない答です。これを「x ≠ 3である実数」（つまり「x∈R ∧ x≠3」）と答えたのでは、「x∈R」の部分が冗長ですからね。

(4)
> （ x - 3 )^2 > 0　と「同値な、明示的かつ簡潔な条件を答えること」が、
> 高校数学での「不等式の解を求めること」と理解しています。

そりゃちょっと違うと思います。「解」と言ったら、やっぱり条件を満たすものの集合（であって、そしてそれ以外のものを含まない集合）と捉えるのが普通の解釈だと思います。たとえば実数xに関する二次方程式
(x-1)(x-2)=0
の解を
x=1,2
なんて書くのも
{1,2}（あるいは{x | x=1 ∨ x=2}でも良いですが。なお∨は「または」です。）
が正式であって、これは
∀x(x∈R ⇒ (x∈{1,2}⇔(x-1)(x-2)=0))
を意味します。個々の分野ごとに慣習的な略記法があり、
x=1,2
もまた略記に他ならないです。

　もうひとつ例を挙げましょう。たとえば実数xに関する二次方程式
x^2 + 1=0
の解は
「なし」
とやるでしょう。これは解が空集合だ、という意味です。
もしも仰るとおりx^2 + 1=0と「同値な、明示的かつ簡潔な条件を答える」のであれば
「偽」
ですぜ？

　ですから、ご質問の問題においても
「3以外の実数」
という答案は、
{x | xは3以外の実数｝
の略記とみなした訳です。で、そうすると
「x ≠ 3」
という答案の意味するところは、
{x | xはx ≠ 3｝
ということになっちゃって、これは集合ではない。

という結論になるわけですう～。

お礼

たくさん書き込みくださいまして、ありがとうございました。

[「解」と言ったら、やっぱり条件を満たすものの集合（であって、そしてそれ以外のものを含まない集合）と捉えるのが普通の解釈]

私もそう考えています。解とは条件を満たす変数の値の集合です。
私が主張しているのは、高校数学の２次不等式において
x ≠ 3
と言えば、
｛ｘ｜x ≠ 3 , x は実数}
の意味だ、ということです。

この場を借りて、この問題の最終報告をさせていただきます。

ojamannboさんや私の主張を裏付ける書籍をあげます。

(1)「理解しやすい数学Ｉ＋Ａ」
東大名誉教授・理学博士　藤田宏　編著　文英堂
Ｐ．９２（１）　例題７６（１）
　4x^2 -12 x + 9 >0 の解は
　x =3/2 を除く実数全体　　---(1)
　　　　　　　　とした上で、注釈を付け、
(1)これを簡単に
　　x ≠3/2
　と表すこともある。
　また　これを
　　x < 3/2,3/2 < x
　と表してもよい。

と書いてあります。

(2)「本質の研究　数学(1)・Ａ」
　　放送大学教授　長岡亮介著　旺文社
P.168 下から５行目
ax^2+bx+c >0 <------>x < α, α< x
注　これは、’x ≠ α’とも表せます。

同じ本のP.170問３－１８（１）x^2-4x+4>0の解答（P.397)は、
x^2-4x+4>0　
（ｘ－２）＾２＞０
　x ≠ ２
となっています。

そのほか、
(3)「元気が出る数学(1)・Ａ」　馬場敬之他著
(4)「大学への数学(1)」研文書院
でも該当箇所にはっきり書かれています。
------------------------------------------
また、
「不等式に含まれる文字は、特に断らない限り実数を表す。」
については、
精説　高校数学　第1巻　数研出版
他のいくつかの書物に書かれています。
しかし、受験テクニックについてバリバリと書いてある本は多々ありますが、こうしたことをきちんと書いてある本は少数であるように思います。
以上、自分の質問に自分で決着を付ける、変な質問になってしまい、すみません。
回答者の方々、ありがとうございました。

補足

「解」と言ったら、やっぱり条件を満たすものの集合（であって、そしてそれ以外のものを含まない集合）と捉えるのが普通の解釈だと思います。

その他、おっしゃっていることは、まことにそのとおりで、
何の疑義もありません。
私の表現が厳密さを書いていたので、stomachmanさんには、論理の矛盾点が気になったのだと思います。

繰り返しになるので、もう書きませんが、私の主張はojamannboさんが支持くださったので、
９９パーセント確信しております。
現在売られている高校数学の参考書等で、該当箇所を見つけたら、最後の報告をしたいと思います。

回答No.10

stomachman

xが実数であることを暗黙の前提にして、（ x - 3 )^2 > 0 の解は何かと尋ねられたら、x≠3だけ答えれば十分だろうというお話ですね。（複素数まで考えるのは穿ちすぎでしょう。複素数に＞で比較する大小関係は（特別に定義しない限り）ないですから。）

●ある条件を示して、その解と言ったときには、「解」とは、その条件を満たすものすべてを含み、そしてその条件を満たさないものを含まないような集合を指すのが普通です。
すると「（xが実数であることを暗黙の前提にして、）（ x - 3 )^2 > 0 の解は何か」とは
∀x(x∈R ⇒ (x∈P ⇔（ x - 3 )^2 > 0))　　（ただし、Rは全ての実数の集合）
となる集合Pは何かという問いと思える。（「全体集合」という概念だって、論理式で表現すればこうなると思います。はじめの「x∈R ⇒」の部分が「全体集合」を指定している訳です。）そうすると、
P={x | x∈R ∧ x≠3}
が正解でしょう。Pは「3でない全ての実数の集合」です。もちろん、
P={x | x∈R ∧ (x＜3 ∨ x＞3)}
も同じ集合を指しています。でも、んなこと言ったら
P={x | x∈R ∧ (x-3)^2＞0}
だって同じ集合を指すんで、「解」を上記の意味で解釈すれば、これだって解です。

でも、そこはそれ、ジョーシキとして、Pをなるべく明示的かつ簡潔に表現してよ、と解釈すると、
P={x | x∈R ∧ x≠3}
が一番適切な気がするけれど、
P={x | x∈R ∧ (x＜3 ∨ x＞3)}
も誤りにはできないでしょう。場合分けして考えたらこういう表現に到達してもおかしくないし。
でも、
P={x | x∈R ∧ (x-3)^2＞0}
と答えられたらどうか。まじめな出題者なら問題の文章表現がどうあるべきであったかシンコクに悩まなくてはならない。また不真面目不勉強な出題者なら単にバツを付けるんでしょうね。これは先生にしつこく質問していじめてみると面白い。（もちろん、受験テクニックの話としてなら、考えるまでもない、論外とされるでしょうけれど。）

さて、
∀x((x∈R ∧ x∈P) ⇔（ x - 3 )^2 > 0)))
となるPは何かという問いと思うなら
P={x | x≠3}
が正解と言いたいところですが、残念ながら{x | x≠3}は集合になっていません。
というのは、「あらゆるものの集合」という概念は成り立たない（矛盾を生じる）ことが知られてるんです。
このことから、「3ではないあらゆるものの集合」という概念もまた成り立たないだろうと、（証明なしでも）お分かりになると思います。

こういうゴタゴタを避けるためには、やっぱり、
「3でない全ての実数の集合」
と答えておくのが無難そうです。

●ところで、もし解を要求されたのではなく、
「（xが実数であることを暗黙の前提にして、）（ x - 3 )^2 > 0 の必要十分条件は何か」
と尋ねられたのであったら、
∀x(x∈R ⇒　(Q(x)⇔（ x - 3 )^2 > 0 )
となる述語Q(x)を要求されているんですから、
x≠3
x∈R ∧ x≠3
x＜3 ∨ x＞3
x∈R ∧ (x＜3 ∨ x＞3)
(x-3)^2＞0
x∈R ∧ (x-3)^2＞0
はいずれも正しいでしょう。ほかにもたとえば
x∈R ∧ x≠3 ∧ 1+1=2
だって良いわけです。で、ここでもジョーシキとして、なるべく明示的かつ簡潔に表現してよ、と解釈すれば、最も簡潔なのは
x≠3
でしょう。もちろんこれは、ご質問に挙げられた問題とは別の問題の答ですが。

お礼

ご回答ありがとうございました。

------------------------------------------
私は論理学を学んでいませんので、
∀x(x∈R ⇒ (x∈P ⇔（ x - 3 )^2 > 0))　　（ただし、Rは全ての実数の集合）
という表現はよく知りません。しかし、
「x　が実数ならば、（ x - 3 )^2 > 0　が成り立つことと、x が集合Pの要素であることが同値である」
と読みました。そういう集合Pをこの不等式の解という、とおっしゃっているんですね。それには異論はありませんが、高校数学では、解がP={x | x∈R かつ (x＜3 または x＞3)}
のとき、単に　x＜3 または x＞3
という条件の部分だけを書き、x∈R は、書きません。質問に挙げられた問題とは別の問題とおっしゃっていますが、よくわかりません。
（ x - 3 )^2 > 0　と「同値な、明示的かつ簡潔な条件を答えること」が、
高校数学での「不等式の解を求めること」と理解しています。
-----------------------------------------
訂正１件。
No.9の回答に対する補足中の、
( a は任意の実数）
というところは、すべて、
( a は 0 以外の任意の実数）
と訂正させていただきます。

回答No.8

noname#33973

追記

ですから、
「二次方程式x^2=4の解を求めよ」
という問題に対して、
「x=±2」
と解答するのは、値を訊かれているのに条件を答えているので厳密に言えば間違いです。
単に
「±2」
とこたえるか、
どうしてもxを入れたければコロンを使って、
「x:±2」
と答えるべきでしょう。

回答No.7

noname#33973

ちょっと別の観点から。

数学に限らず全ての教科に言えることですが、解答の形式は問題の形式に合わせる必要があります。
つまり、“訊かれたことに答えなければいけない”のです。

例えば
「（ x - 3 )^2 > 0　の解を求めよ」…イ
という問題だったとすれば、訊かれているのは“解”すなわち“値”です。
「（ x - 3 )^2 > 0　を充たす全てのxを求めよ」…ロ
だった場合も、xという“値”を訊かれています。

一方、
「（ x - 3 )^2 > 0　を充たすxの条件を求めよ」…ハ
だった場合はどうでしょうか？
このとき訊かれているのは“値”ではなく“条件”です。

では、どのような答えが“値”でどのような答えが“条件”かといいますと…

「３以外のすべての実数」…あ
これは“値”(の集合)です。
記号で書くならば、
「｛x｜x∈R,x≠3｝」…い
となります。
「｛x｜x∈R,x<3,3>x｝」…う　
と書いても同じことです。(うの書き方には異論があるかも知れませんが)

あ、い、うといった解答はイ、ロに対する解答としては適ですが、ハに対する解答としては不適です。

一方、
「x<3,3>x」…え
は
「xは3より小さいか、または、3より大きい」

「x≠3」…お
は
「xは３でない」

という意味であり、いずれも“値”ではなく“条件”です。
よって、え、おのような答えはハに対する解答としては適ですが、イ、ロに対する解答としては不適です。

では、値を訊かれているのか条件を訊かれているのか判らない場合、
例えば
「二次不等式（ x - 3 )^2 > 0　を解け」
といった場合はどうでしょうか？

「『解け』というのは『４＋３を解け』と一緒で『簡単にせよ』という意味である。」
と考えるならば、
「x<3,3>x」
または
「x≠3」
と解答すれば良いことになります。

しかし、一般には、解答のほうで、解答の形式を明示するのがより安全でしょう。

例１　同値性を主張する場合
「（ x - 3 )^2 > 0　⇔　x<3,3>x」
或いは
「（ x - 3 )^2 > 0　⇔　x≠3」

例２　値を示す場合
「与不等式を充たすxは3以外の全ての実数である」
或いは
「与不等式の解は｛x|x≠3｝

例３　条件を示す場合
「xが与不等式を充たす条件はx≠3」
「xが与不等式を充たす条件はx<3,3>x」

～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
高校数学では、特に記述がない限り実数の範囲で考えるのが普通です。
特に今回は不等式の問題ですから実数であることを示す必要はないと思います。
ただし、「xは３以外の数」というのはダメです。「数」と書いてしまうと実数以外の数を含むニュアンスが出てしまいます。
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
手元に資料がないので確認はできませんでしたが、
「解」は普通方程式の根のことなので、不等式を充たす数のことを「解」と呼ぶことをには個人的に違和感があります。

お礼

ご回答ありがとうございました。私の質問に興味をもって、多数の方が、わずか１日でのべ９回の投稿をしていただき、お礼申し上げます。この質問を機に、私自身改めてこの問題の周辺を考える時間を持てました。。どうもありがとうございました。

-----------------------------------
さて、投稿者は、後で小さな誤りに気づいても、自分の投稿をその場で訂正ができません。締め切られてしまったら、もちろん、訂正できなくなってしまいます。
小さな点で、お気づきになっていると思いますので、
僭越ですが、N0.7の方の入力ミスを指摘させていただきます。

「｛x｜x∈R,x<3,3>x｝」…う　
「x<3,3>x」…え
など、
x<3,3>x
という式の出てくるところは、全部
x<3,3<x
でなければなりません。なお、
x<3,x>3
と書いてもかまいません。
---------------------------------
（このようなことを書いておこう、と思うのは、後で高校生の人が見ることを考慮してです。）

回答No.6

march4

おはようございます。
私もこの問題について考えてみました。

・X＜３、３＜Xの解釈
---変数Ｘは、３より小さい実数と３より大きい実数の任意の値をとる。・・・★１

・X≠３　の解釈
---変数Ｘは３にはならない（３ではない）。・・・★２

と私は思っています。
★１と★２では意味が異なります。
★１は、言い換えるなら、
「Ｘは３以外の任意の実数をとる」
です。

★２は、
「少なくとも、Ｘが３にはならないことは、わかったが、そのＸが実数なのか虚数なのか、また、３より大きい値になるのか、３より小さい値になるのかはわかっていない。」
といったように解釈できると思うのですが、どうでしょうか。

例として、方程式の両辺をある文字（例えば、aとします）で割るとき、「a≠０なので」といったように、文字で割る時は文字が０でないことを示してから、初めて割ることが許されます。
この「a≠０なので」とは、「aは０以外のすべての任意の実数なので」とは必ずしも言ってはいないのです。
「少なくとも、a≠０なので」という言い方だと思います。
その意味で、★１と★２では、意味が異なると思うのです。
いかがでしょうか。

お礼

ご回答ありがとうございました。
そうだな、そうだな、と思いながら、
非常におもしろく読ませていただきました。

★１と★２では、意味が異なる。
私も同様な感覚をもっていることに気づきました。

X≠３　の解釈は
---変数Ｘは３ではない
それだけだと私も思います。
一方、
X＜３、３＜X　の解釈は、
---変数Ｘは、３より小さいか、３より大きい
それだけのはずで、
Ｘが、この範囲の「任意の」実数
という意味は持たない、と思うのです。
この記号は、単なる大小比較の記号と思います。
x < 3 は、単に、x が　3より小さい、と言っているに過ぎない、と思います。
3より小さいすべての値をとる、
というのは、
｛x｜x < 3　, x は実数｝
から来るのではないでしょうか。

補足

この話に関連して、相加平均・相乗平均の関係のことが思い浮かびました。
その式は、
a >0 , b > 0 のとき、a + b ≧ 2 √(a + b )　が成り立つ、
という形で用います。
「 x > 0 のとき、関数 y = x + 1/x の最小値を求めよ 」
という問題の解答は以下のようになります。
「x > 0 のとき、1/x　> 0　であるから、
相加平均・相乗平均の関係が適用できて、
y = x + 1/x　≧ 2 √(x + 1/x ) = 2 √(1) = 2　---(@)　
が成り立つ。
ここで、
x = 1/x (x^2=1) のとき、すなわち x = 1 のとき、等号は成り立つ。
よって、関数の最小値は２」

ここで、もし、
y = x + 1/x　≧ 2---(@)
の意味が、N0.6　の回答者のおっしゃる★１のような意味（「２以上の任意の実数値をとる」）ならば、
その後の３行の等号成立確認は不要で、直ちに、「よって、関数の最小値は２」と言っていいはずです。
(@)は、x + 1/x　が　２より大きい「すべての」値をとる、という意味ではなくて、
y = x + 1/x　の値を２と単に大小比較して、「２より大きい、または、２に等しい」
と言っているだけだと、私はそう考えます。
(@)が伝えているのは、「実数y が 2より小さい値はとらない」ということだけであり、
このままだと、y が本当は2ではなく、たとえば
2.03より小さい値はとらない・・・そういう場合もありえる。私はそう考えます。
x + 1/x ≧ 1 は　正しいですが、
「x + 1/x　は１以上の任意の実数値をとる」は誤りです。
以上から、記号それ自体の解釈としては、★１はまちがいと思います。

回答No.5

tamagawa49

私は次のように考えています。
「3以外のすべての実数」と「x < 3 , 3 < x」
は同じ意味なのでどちらも正解。

それに対し、
「x ≠ 3 」
は解が3で“ない”と言う事を示しているだけで、何で“ある”かを示していないのでダメと思っています。

補足すると例えば方程式などで解が１と３だったとします。それに対し１と３を答えるのではなく、２ではない、５ではない、と違う例を挙げても正解にならないのと一緒です。

従って正解は「3でない」ではなく、「3以外のすべての実数」と答えるのが正解だと思います。

お礼

N0.6の方のご回答とともに、
式をどう読むか、ということについて、改めて
考えてみました。非常に有益でした。

ご回答ありがとうございました。

回答No.4

Rossana

どの表記でも同じようなことを言えているという点では正解だと思います.
大事なことは,その表記で見た人に重要なことをいかに伝えるかってことだと思います.
個人的な意見としては,
「任意の実数」という言葉は入れた方が分かりやすい気がします.
ただ一つ言えることは僕が生きてきた中で
この問題の解を
　x<3,3<xあるいはx≠3
としているような表現は見た事がありません.
僕は「すべての」あるいは「任意の」という言葉は外さない方がいいと思います.

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.3

noname#24477

x<3,3<x
xは３以外の実数
x≠３

どれでも良いと思います。
（個人的には１番上の書き方が好きですが、簡単に表記するときはｘ≠３も使います）

そもそも不等式を考える場合虚数を考えては
いません。実数のみである（その他整数とかの場合にはことわりを入れる）ことは前提です。
そのことを分かって答えているのなら、
それにいちゃもんを付けるのは揚げ足とりの
ようなものです。
教科書はいちゃもんを付けられることには弱いからね。

x^2<0　に対して「解なし」もだめと言うんでしょうか？
（厳密には「実数ｘは存在しない」ではありますが）

しかし、そういうことを議論するのは数学が好きなのかなと感じ、好ましくも思えます。

お礼

ご回答ありがとうございました。「そもそも不等式を考える場合虚数を考えては
いません。実数のみであることは前提です。」

すべての計算法則を満たすように、虚数に大小の順序を入れることはできないから、
１次不等式の解は、解の値として実数全体の集合が全体集合となる、２次不等式の場合も、１次不等式の場合にそろえて、解の値として実数全体の集合を全体集合と考える---と解釈してよいでしょうか？

補足

質問は800文字以下、という制限があり、実は、質問の
すべてを載せられませんでした。このスペースを貸していただいて、残りの一部を書かせていただきます。
[別の角度から]
私の認識では、不等式の解とは、本来、不等式を満たす文字の値の集合のことで、
たとえば、不等式　x - 5 > 3　の解とは、集合
{ x | x - 5 > 3}　の要素の条件部分を、よりはっきりと、簡単な式に直した　{ x | x > 2}　のことだと、思うわけです。
これを通常は、その xの満たす条件のみを取り出して、簡単に、x > 2　と答えることにしている、と。
いかがでしょうか？　私はこの説明を、参考書のどこかで、見た気がします。そういう記述箇所をご存知でしたら、教えていただけないでしょうか？

回答No.2

kony0

「ｘ≠３」だけではだめなのは#1さんのとおりですが、
私は「ｘ≠３である実数」でも若干不十分と考えます。
なんか必要条件しか言えていないように思えるのです。

「ｘ≠３である“任意の”実数」のほうがよくないですか？

お礼

ご回答ありがとうございました。

---「ｘ≠３である“任意の”実数」のほうがよくないですか？---

その方が、よりわかりやすい答え方だと思います。

回答No.1

he-goshite-

(1)３以外のすべての実数
の場合は明示的に，
(2)ｘ＜３，ｘ＞３
の場合も，ｘは実数である，と答えている
（大小比較しているので）が，
(3)ｘ≠３　
としたのでは，ｘが実数であるとは言って
いない。
ｘ＝３＋２i　などはいいということかもしれない

ということで，だめなんじゃないかしら。

お礼

さっそくお答えくださり、ありがとうございました。

「ｘ≠３　
としたのでは，
ｘが実数であるとは言っていない。」

まさにそのとおり、なのですが、
２次方程式の解を考える、というとき、解の値としては、実数全体の集合を全体集合として考えている、
というように、私は理解しております。

補足

２次不等式　( x - 3 )^2 < 0
は　「解なし」
ですが、
x = 3 + 2i
は　この不等式を満たします。
だから、「解なし」というのは、
実数の範囲ではこの不等式を満たすxの値が存在しない
、ということですね。
つまり、最初から、虚数は解の候補からはずされている、
のではないでしょうか？