二次不等式について

質問

至急お願いします！！

次の二次不等式を解け。
（1）（x－3）（x－5）く0
（2）（x－2）^ 2＋1＞0

という問題があります。
（1）の方は3くxく5
（2）の方はすべての実数

と答え方が違うのですが、どうやって見分ければいいんですか？？

回答No.3

noname#212313 · ベストアンサー

> （1）（x－3）（x－5）く0

　x-3とx-5の積がマイナスになるという不等式ですね。マイナスになる条件としては、どちらかがマイナスで、もう一方がプラスのときだけです。

　具体的に不等式で書けば、

１．x-3＜0 かつ x-5＞0　∴x＜3 かつ 5＜x　∴そんなxはない（解なし）
　または
２．x-3＞0 かつ x-5＜0　∴3＜x かつ x＜5　∴3＜x＜5

となります。１と２は「または」の関係にありますので、２から出て来るものだけがxについての条件となります。

> （2）（x－2）^ 2＋1＞0

　(x-2)^2というのは、x-2がなんであれ、0以上になりますね。「(x-2)^2≧0」ということです。それに1を足しているわけですが、当然ですが「1＞0」です。「1≧0」と書いても間違いではないですが、等号（＝）は決して成り立たないので、「1＞0」のほうがはっきりします。

　0以上である(x-2)^2に、0より大きい1を足しているため、必ず0より大きいと分かります。

　不等式を変形して、成り立つことを確かめてもよいでしょう。

　(x-2)^2+1＞0
∴(x-2)^2＞-1　←不等式の両辺から1を引いた
∴(x-2)^2≧0＞-1　←2乗は0以上という条件を入れてみた

　これは「0＞-1」は明らかに言えますから、成り立ちます。

　さらには、(1)ならy=(x-3)(x-5)、(2)ならy=(x-2)^2+1と置いてグラフを描き、不等式が表す領域を考えるのもいいやり方です（y＜0やy＞0の領域を見てみる）。

　いずれも、慣れてくれば一目見て判断できるようになるかもしれませんが、最初は不等式を変形するなどして、きちんと確かめるようにしたほうがいいでしょう。テストなどでは、勘違いをしやすい不等式を出してくることがよくあります。

回答No.2

kuzuhan

両者ともに「左辺」と「右辺」がどのようになれば不等式で成立するのかで考えます。

（１）は（x－3）（x－5） く 0で題意より左辺が0より小さい数（つまり負の数）でなければいけません。
これを、
（x－3）（x－5）＝ 0
として等式を解きます。すると
x ＝ 3 , 5
になります。つまりxに3と5を代入すると左辺は0となりますから不成立になるということになります。
左辺が0より小さい、すなわち負の数になるためには、（x－3）か（x－5）の一方が負の数にならなければいけません。
x＝2を代入すると
（2-3)(2-5) = (-1)×(-3) = 3
つまり、左辺の要件を満たしません。
6でも同様です。
3より小さいか5より大きいと正の数、3と5は0になることが証明できました。
つまり、3.1や4や4.999を代入すると、左辺は負の数になるということになります。
x＝4を代入すると
（4-3）（4-5）＝1×（-1）＝-1
つまり、左辺の要件を満たすため解の範囲であることがわかります。
式は二次不等式ですから、連続した範囲がxの条件になりますので、
3＜ｘ＜5の範囲が（１）の解になります。

（２）は（x－2）^ 2＋1＞0、つまり、xに代入する数によって０よりも大きい数（正の数）が左辺でなければいけません。
ここでxは括弧の2乗の中にある数ですから、実数を代入しても正の数あるいは0にしかなりません。
つまり左辺にxに不の数として-8を代入すると
(-10)^2+1
＝100+1
＝101
つまり　101＜0
となるため不等式は成立します。
何故なら、カッコ内が負の数であっても偶数乗ならばその解は正の数となり、また代入に関係ない定数項が正の整数ですから、負の数を代入する限り左辺は正の整数を解に持ちます。

正の数でも負の数でもない整数として、x=0を代入すると、
(-2)^2 +1
＝4+1
＝5
つまり、5＞0
となり不等式が成立します。負の数を代入したときと同じです。

正の数を代入するとどうなるでしょうか。
x=1を代入すると、
(-1)^2 +1
＝1+1
＝2
つまり、2＞0
となり不等式が成立します。負の数を代入したときと同じです。
x=2を代入すると、
(0)^2+1
＝0+1
＝1
つまり1＞0
となり不等式が成立します。0は0をかけても0ですから、定数項だけが残りこれが正の数ですから左辺は正の数を解に持つことになります。
x=3を代入すると、
(1)^2 +1
＝1+1
＝2
つまり、2＞0
となり不等式が成立します。
3よりも大きい数を代入しても括弧の中は正の数にしかなりませんから、正の数に正の整数（定数項）を足しても正の数にしかなりません。

つまり、虚数（2乗して負の数になるもの）でない実数である限り、（２）の左辺は常に正の数になるので、解は全ての実数となります。

見分け方というより、式が何を言いたいのかを判断できるようにしてみてください。
（１）は左辺が負の数の範囲は？を聞いています。左辺がマイナスになる共通する数はなんだろうと考えてみてください。
（２）は左辺が正の数になる範囲は？を聞いています。ｘが含まれる項は2乗ですから正の数での負の数でも0か正の数になります。定数項は正の整数だから、ｘを含む項が0でも左辺全体を正の数にするので・・・と考えてください。

回答No.1

ミッタン（@michiyo19750208）

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