２次不等式について

質問

「２次不等式　ax^2 + 5x + b　>0 　(a,bは実数の定数）の解が 1 <ｘ <4 であるときの　a,b を求めよ。」

という問題の解説に

「解が　 1 <ｘ <4 　でx^2 の係数が１である２次不等式は

(x-1)(x-4)<0 とおける」　とあるのですが

なぜ　『x^2 の係数が１』が前提なのですか？
解が　 1 <ｘ <4 　なら　a(x-1)(x-4)<0
とおくべきなのでは？？

回答No.4

mister_moonlight · ベストアンサー

可笑しな事を言ってる回答者がいるので、注意しておく。

＞それと、1 <ｘ <4 　なら　a(x-1)(x-4)<0という意見ですが、これは前提として置かない方が良いでしょう。何故なら、aのプラスマイナス次第で、大小の記号が逆転します。

それは違う。回答者気がついてないだけの事。
はじめから　a＞0　という条件をつければ良いだけ。

それで解いてみよう。

m＞0として、不等式は、m*(x-1)(x-4)＜0とおける。
これを展開すると、不等号の向きを同じにして、-mx＾２＋5mx-4m＞0.　この不等式と、ax^2 + 5x + b　>0 が一致するから、各項の係数が比例する。
従って、(-m)/(a)＝(5m)/(5)＝(-4m)/(b)。 m＞0から　(a、b)＝(-1、-4)。

回答No.7

kenjoko

alice_44さん、よろしくおねがいします。

＞解が　 1 <ｘ <4 　なら　a(x-1)(x-4)<0とおくべきなのでは？？
不等号が逆になっていたのに気が付きませんでした。
「a(x-1)(x-4)＞0とおくべきなのでは」と書けば 正しいことになりますね。

ご指摘ありがとうございます。

＞解説に「解が　 1 <ｘ <4 　でx^2 の係数が１である２次不等式は、(x-1)(x-4)<0
とおける」・・・　とあるのですが
この解説で質問者が混乱したのでは？

質問者はわかりましたか。

お礼

すみません。不等号の向きを逆にしてしまって・・
まさに、ご指摘のとおり　解説を読んで混乱してしまいました。

でも皆様のご親切なご回答により、理解できたと思います。
ありがとうございました！！

回答No.6

alice_44

＞ 解が 1 < x < 4 なら a(x-1)(x-4) < 0
＞ とおくべきなのでは？？

だめです。
ax^2 + 5x + b > 0 と a(x-1)(x-4) < 0 が
同値になることは有り得ません。
括弧を展開して、見比べて御覧なさい。
(-a)(x-1)(x-4) < 0 と置くのなら ok です。

回答No.5

kenjoko

可笑しな回答です。注意して下さい。

a(x-1)(x-4)=ax^2-5ax+4aと　ax^2 + 5x + b　のそれぞれの係数を比較して
a=-1、b=-4が得られる(-5a=5,b=4a)　　　本当はここまででOK

※未知数をいきなり、正とか、負にするのは間違いですね。
a＞0としておいて、解がー１になるなんて、あり得ませんよね。

ax^2-5ax+4a＞0に a=-1、b=-4を代入して
-x^2+5x-4＞0・・・　x^2-5x+4＜０　よって　１＜x＜４　間違いない

＞「解が 1 <ｘ <4 でx^2 の係数が１である２次不等式は、(x-1)(x-4)<0 とおける」
　とあるのですが
　　　　　　　「x^2-5x+4＜０」ここの事を言ったのかな？

＞a(x-1)(x-4)<0とおくべきなのでは？？

その考えは正しい。

回答No.3

halcyon626

１が一番スタンダードで扱いやすいからです。
1 <ｘ <4 　でx^2 の係数が５である２次不等式は、
５(x-1)(x-4)<0とおけます。しかし、１でもいんじゃね？？ってなるのです。
５で置けるなら、１０でも２０でも何でも置けます。
でも別に数が大きい意味はないし、意味がないのに必要なら１で良いでしょう。
×１なら、どうなっても計算に支障も無いし、面倒でもありませんから。

それと、1 <ｘ <4 　なら　a(x-1)(x-4)<0という意見ですが、
これは前提として置かない方が良いでしょう。
何故なら、aのプラスマイナス次第で、大小の記号が逆転します。
まず、計算に影響をきたさない、係数１の(x-1)(x-4)<0とおいて、
求める２次式の係数がaだから、aを掛けて計算。
しかし、aのプラスマイナスで大小の記号が逆になるので、
条件を指定して、場合分け。

という感じで。
参考までに、

回答No.2

hsatky530

問題文からa<0であることは明らかです。
よって、「x^2の係数が1」というのはaが1であると言っているのではなく、

「解が　1<x<4　で　x^2　の係数が1である2次不等式は　(x-1)(x-4)<0　とおける」

ということから、

(x-1)(x-4)<0　→　x^2-5x+4<0　とし、

x^2-5x+4<0　と　ax^2+5x+b>0　の係数を比較してa,bを求めようとしているのだと思います。

要するに、この解き方の場合a=1とするのが一番数式の処理が楽だということではないでしょうか。

最後の質問についてはほかの方が回答されているので割愛します。

回答No.1

tomokoich

a(x-1)(x-4)<0とおいてしまうと
aが正か負かまたは0かによって不等号の向きが変わってしまいます。
そうするとa=0,a<0時は解が1<x<4にならなくなります。