一般化座標と時間

質問

３次元でＮ個の質点の一般化座標
　{q_i}; (q_1,q_2,q_3),…,(q_3N-2,q_3N-1,q_3N)　　(1)
とし、デカルト座標系でも同様に
　{x_i}; (x_1,x_2,x_3),…,(x_3N-2,x_3N-1,x_3N)　　(2)
と表すとする。
運動をデカルト座標で表す場合も一般化座標で表す場合も、３Ｎ個の独立変数が存在し、両者の間に
　x_i = x_i(q_1,…,q_3N)　　(3)
　q_i = q_i(x_1,…,x_3N)　　(4)
という交換関係が成り立つ。
運動が時間に直接依存する束縛条件の下で行われる場合や、座標系が時間とともに動く運動座標系の場合は
　x_i = x_i(q_1,…,q_3N,t)　　(5)
　q_i = q_i(x_1,…,x_3N,t)　　(6)
のように、座標の間の関係は一般には陽に時間ｔを含むことになり、∂x_i/∂tなどがゼロにならないことを注意しておく。

と解析力学の本に書いてあるのですが、いろいろ疑問があります。
i）　(3)(4)で、なぜx_iがq_1～q_3N全ての関数となるのでしょうか？(1)(2)を考えると、x_iが属する質点を表す３つqだけに拠るのではないかと思うのですが…。
ii)　(5)(6)ではｔが明示的に関数の引数に加えられていますが、運動というものを考える上では必ず時間の概念があると思うのですが、そうなると(3)(4)とはどのような違いがあるのでしょうか？「陽に時間を含む」とはどういうことなのか改めて教えて下さい。
iii)　「∂x_i/∂tなどがゼロにならない」とありますが、ii)にも書いたように時間に関係ない運動はないのだから、時間で偏微分して０になるというのはどういうことなのでしょうか？質点がずっと静止しているという意味じゃないですよね…？
iv)　時間での全微分と偏微分の違いがわかりません。

膨大で申し訳ありません。一部でもよいのでご回答頂ければと思います。よろしくお願いします。

回答No.4

eatern27 · ベストアンサー

>つまり、この本では(3)の前などに「運動」という言葉を使っていますが、
>「座標」という言葉に読み替えて解釈すればよいということでしょうか。

というのは、
>運動をデカルト座標で表す場合も一般化座標で表す場合も、
このあたりの部分でいいですか。

粒子の運動を定量的に扱うには、粒子の「位置」を数字で表せないと困りますよね。そうなると、「数字」と「位置」がどう対応するのかを知っている必要がありますよね。それが座標系。上記の部分では、「デカルト座標系を使って数字に対応させる場合も、一般の座標系で対応させる場合も」という感じのニュアンスだと思います。

>全ての運動が、その質点に座標を貼り付けることで、静止とみなせる系を作れるとして、
あ、ダランベールの原理ってそういう事を言っているんだと思ってもいい気がしますね。

>その座標系をｔを陽に含む運動座標系とすれば、
(3)～(6)での時間を陽に含む/含まないとうのは、あくまでもＡさんＢさんの座標系を比較して出てくるものです(両者の間の座標変換の話ですので)。
Ａさんの座標系だけを見て「ｔを陽に含む」とかそういう話は出てきません。
つまり、座標を粒子に貼り付けた座標系と、例えば、(地表に固定した)デカルト座標系と比較した時に始めて出てくる話だということです。

>運動を考える前の段階での議論になるというように解釈していいのでしょうか…？
まぁ、なりますよね。「座標系を粒子に貼り付けますよ」ってのは、運動を考える前にしている事ですからね。

>全ての運動を座標系の移動に帰着させて考えることができる？という意味です。
まぁ、できますよね。そういう風にして解析するのが便利かどうかは別問題ですが。

>でもそうすると、時間での全微分との違いがまたよくわからなくなってしまう気がします。
∂x_i/∂tはＡさんの座標系に対してＢさんの座標系が動く速度で、一般にはq_jたちとtの関数です。Ａさんの座標系とＢさんの座標系の関係について論じたもの。
dx_i/dtはＡさんの座標系に対して粒子が動く速度で、t『のみ』の関数です。実際の粒子の運動について論じたものです。(Ｂさんは何処にも出てきません)

お礼

返答が遅くなりまして申し訳ありません。

＞Ａさんの座標系だけを見て「ｔを陽に含む」とかそういう話は出てきません。
この文章で理解できました！！
大雑把な理解かもしれませんが、かなり見通しがスッキリしました。
複数の座標系を考えるのは便利ですが、その間の関係をしっかりと認識しなくてはいけないですね。
eatern27さん、何度もご回答ありがとうございました！！

回答No.3

eatern27

>逆に、時間に直接は依存しない且つ、運動座標系でない運動とはどういったものなのでしょうか？
すいません、何を聞いているのかよく分からないのですが、とりあえず、#1に書いたように、座標系の設定は粒子の運動を考える前の話です。

>例えば静止する質点は明らかな時間依存ではないとも思えますが、
>それはその質点に貼り付けた座標系から見た場合であって
>他の系から見れば時間に依存した運動をするように見えるのではないでしょうか？
はい、見えます。

>そしてそう考えた場合、後半の「座標系が時間とともに動く」という方に該当しますよね？
該当します。

Ａさんはある座標系を設定し、Ｂさんは別の座標系を設定しているとしましょう。Ａさんの座標系で(x_1,x_2,x_3)と表現される場所は、Ｂさんの座標系では(q_1,q_2,q_3)のように表現されるわけですよね。Ａさんの設定した座標系における座標とＢさんの設定した座標系の関係を与えるのが、質問にある(3)式～(6)式です。

Ａさんの座標系がＢさんの座標系に対して動いていない場合(具体的には、直交座標から極座標や円筒座標や斜交座標への変換など)が、(3),(4)式のケース、
Ａさんの座標系がＢさんの座標系に対して動いている場合が、(5),(6)式のケース
なんですね。

貴方が疑問に思っているのは、ＡさんとＢさんの間の座標変換が(3),(4)のように時間に依存しなくても、別のＣさんの設定した座標系に対しては動いている場合だってあるじゃないか、ということですよね。
それはその通りです。でも、それは、ＡさんとＢさんの間の座標変換とは何も関係ない話です。

お礼

何度も本当にありがとうございます。

＞座標系の設定は粒子の運動を考える前の話です。
そうなんですよねぇ…(--;)
つまり、この本では(3)の前などに「運動」という言葉を使っていますが、
「座標」という言葉に読み替えて解釈すればよいということでしょうか。
全ての運動が、その質点に座標を貼り付けることで、静止とみなせる系を作れるとして、
その座標系をｔを陽に含む運動座標系とすれば、
運動を考える前の段階での議論になるというように解釈していいのでしょうか…？
全ての運動を座標系の移動に帰着させて考えることができる？という意味です。
でもそうすると、時間での全微分との違いがまたよくわからなくなってしまう気がします。

＞別のＣさんの設定した座標系に対しては動いている場合だってあるじゃないか、ということですよね。
＞それはその通りです。でも、それは、ＡさんとＢさんの間の座標変換とは何も関係ない話です。
まさにそう思ってました…！確かにただ難しく考えてただけですね。

もう少しですっきりと理解できそうなので、どうかよろしくお願いします！！

回答No.2

eatern27

>住所が同じなのに場所が変わるというのがまだよくわかりません。。。

一応、「住所」ってのは「場所」を特定するための変数という意味でしか使っていません。
複雑にしても意味がないので、普通は座標軸って「何か」に固定しています。でも、見ている人がその「何か」に固定されていない場合には、座標軸が動いてる事になりますよね。

具体例の方が分かりやすいでしょうか。

例えば、電車の中にいる人は電車に座標軸を固定して考えますよね(先頭車両から何メートルの場所、など)。この座標軸は、駅のホームにいる人から見れば動いていますよね。つまり、駅のホームにいる人にとっては、「先頭車両から５メートルの地点」は時々刻々と変化しますよね。

あるいは、緯度や経度を決めれば地球上での位置が決まります。でも、地球を外から見れば、地球は自転(や公転)をしていますから、宇宙のどこにいるか、ということを考える場合には、同じ緯度と経度でも時刻によって違う場所になりますよね。

お礼

ご回答ありがとうございます！
違う系から見るっていうことだったんですね。
わかり易い例示ありがとうございます。

さて、また質問なんですけれど、(5)の上の行に
「運動が時間に直接依存する束縛条件の下で行われる場合や、座標系が時間とともに動く運動座標系の場合」
とありますが、逆に、時間に直接は依存しない且つ、運動座標系でない運動とはどういったものなのでしょうか？
例えば静止する質点は明らかな時間依存ではないとも思えますが、
それはその質点に貼り付けた座標系から見た場合であって
他の系から見れば時間に依存した運動をするように見えるのではないでしょうか？
そしてそう考えた場合、後半の「座標系が時間とともに動く」という方に該当しますよね？
すると、運動を考えた時点で、陽に時間を含まない関数というのはないという気がするのですが。

よろしくお願いしますm(_ _)m

回答No.1

eatern27

>i）　(3)(4)で、なぜx_iがq_1～q_3N全ての関数となるのでしょうか？(1)(2)を考えると、x_iが属する質点を表す３つqだけに拠るのではないかと思うのですが…。

一般論としては、そっちの方がいいじゃないですか。例えば、2粒子系で、
(q1,q2,q3)は重心の座標、(q4,q5,q6)は1番の粒子と2番の粒子の相対ベクトル
を考えたい場合だってあるでしょう。別に３つずつの組である必要もありませんよね。

>(5)(6)ではｔが明示的に関数の引数に加えられていますが、運動というものを考える上では必ず時間の概念があると思うのですが、
まだ、粒子の運動は考えていません。粒子の運動を記述するために必要な、「住所」をどう決めるかって話です。

>そうなると(3)(4)とはどのような違いがあるのでしょうか？
東京都葛飾区亀有公園前1-1-1
とか言われたら、あの場所だなって思いますよね(これは適当な住所ですがw)
同じように、(q1,q2,q3)といわれたら、あの「場所(x,y,z)」だなって思うわけです。
(3),(4)では、その「場所」がいつでも同じ。
(5),(6)では、その「場所」が時々刻々と変わる。
って事です。

>「陽に時間を含む」とはどういうことなのか改めて教えて下さい。
同じ住所(qi)でも、時刻によって指定している「場所(x_i)」が違うのだから、x_iをq_jとかの関数とかで書こうと思うと、tを使わないと無理ですよね。

>iii)　「∂x_i/∂tなどがゼロにならない」とありますが、ii)にも書いたように時間に関係ない運動はないのだから、時間で偏微分して０になるというのはどういうことなのでしょうか？
あらわにｔが出てこない場合には、ゼロになるって事です。
住所の指定する場所が時間変化しないと書いた方が分かりやすいかな。

>質点がずっと静止しているという意味じゃないですよね…？
はい、違います。まだ、質点は登場していません。

>iv)　時間での全微分と偏微分の違いがわかりません。
∂x_i/∂tが表しているのは、同じ住所(qiが同じ)が指定している「場所」がどう変化するかって事です。

全微分を考える時に、初めて、「粒子」が登場するのですが、そうやって、決めた「住所」の上を粒子が動くわけですよね。粒子の軌跡は
x_i(t)あるいはq_i(t)
と書くことができます。これを微分したのがdx_i/dtです。

お礼

ご回答ありがとうございます。

＞2粒子系で、(q1,q2,q3)は重心の座標、(q4,q5,q6)は1番の粒子と2番の粒子の相対ベクトル
なるほど！（q_i,q_i+1,qi+2）がひとつの粒子の座標を指すとは限らないんですね。確かにそれなら、ひとつの粒子の座標を得るのにすべての一般化座標が必要になりますね。

＞(3),(4)では、その「場所」がいつでも同じ。
＞(5),(6)では、その「場所」が時々刻々と変わる。
＞同じ住所(qi)でも、時刻によって指定している「場所(x_i)」が違う
住所が同じなのに場所が変わるというのがまだよくわかりません。。。もう少し解説して頂けないでしょうか？

場所が時間によって変化して、更に粒子が運動するんですね…。なんだか難しいです。∂x_i/∂tが、まだ粒子の運動を考える前の場所の変化を表して、ｄx_i/ｄtが粒子と場所の時間での変化を同時に扱うという感じでしょうか。

もう少しお付き合い頂ければと思います。よろしくお願いします。