座標が曲がっているということ

質問

相対論というレベルの問題ではなく、この空間（3次元の直交デカルト座標＋時間）を理解する上で座標軸が曲がったものを考えます。どうして曲がっているかというと対象としている具体的な物体の形状が曲がっているからです。場合によっては時間が経過すると形状そのものがヘビのようにグニャグニャと動くことも考えられます。さて、そこに力学の物理法則を導入します。ニュートンの運動方程式（偏微分方程式）みたいなものです。
力学はその導入は通常3次元のデカルト座標によるものだと思います。そこで曲がった空間ではその運動方程式はどうなるのかという問題があります。まず、ベクトル解析の記号を用いて座標系に依存しない形で運動方程式を書き直し、その後、具体的な曲線座標系の諸事情によって式形が決まっていくという図式のようです。例えば、極座標（x=rcosθ,y=rsinθという具体的変換が与えられる）の場合、直交曲線座標（基底ベクトルは場所ごとに変化するが、直交性が成立する）などの性質を使いながら書き下すということになります（演繹する）。
大もとの方程式は座標系に依存しないで書かれている（ということになっている）ので、具体的な座標が式に含まれず、rot, grad, divなどベクトル解析の記号が用いられているわけです。ここで私は全く理解できない壁にぶつかります。rot, grad, divという演算は座標(x,yとかr,θとか）は示されていませんが、定義のうえでは直交デカルト座標(x,y,z)と結びついていると思います。
ベクトルFの発散はdirF=Fx+Fy+Fzということですから、しっかり座標軸と関連しています。だから、rot,grad,divというものを使ってベクトル的に式が展開されていても結局は直交デカルト座標と結びついています。ではそこから曲線座標の運動方程式が”演繹される”のでしょうか。
座標系の分類としては、
一般曲線座標→特殊→直交曲線座標→特殊→直交デカルト座標
ということですね。ですから直交デカルト座標で表示された運動方程式から一般曲線座標での運動方程式を”演繹”によって表示することに違和感を覚えてしまうのです。それともやはり演繹されるものなのでしょうか。

長文になってしまいました。済みません。よろしくお願いします。

回答No.4

noname#221368

#3です。すいません、間違いました。

　ω＝dΘ/st，Ｒ＝dr/dtとして、

　　Ｌ＝Ｌ(ω，Ｒ，ｒ，Θ)＝1/2×v(ω，Ｒ，r，Θ)^2－Ｐ(ｒ，Θ)

　d(∂Ｌ/∂Ｒ)/dt－∂Ｌ/∂ｒ＝0
　d(∂Ｌ/∂ω)/dt－∂Ｌ/∂Θ＝0

です。

回答No.3

noname#221368

#2です。

＞流体や固体の変形・運動を記述する方程式（NS方程式や弾塑性方程式など）でのこと・・・
＞私はこの問題はテンソル・ベクトル解析あるいは微分積分論、偏微分方程式の範疇で・・・

　わかりました（というか、わかった気がします）。この辺りで言うと、連続体力学（流体も個体も含む）の定式化において、実際にそうやっているものがあります。
　ふつう使われる「歪み＝変形量／変形前の寸法」ではなく、変形後の長さを考慮した、「真歪み」「真応力」を使った連続体力学の定式化の過程において、座標非依存という性質が、指導原理の一つになります。
　何故なら、「真歪み」「真応力」を使った連続体力学の定式化は、何種類かあり得るからです。余りに面倒臭いので、自分は10ページ読んで諦めましたが・・・。

＞ラグランジュ方程式というのはいわゆる解析力学における一般化運動量・一般化座標のこと？
　そうです。

＞そのルートを辿っていくと例えば一般曲線座標での式も誘導される？
　そう思っています。実際、ラグランジュ方程式の処理は単純で、

　Ｌ＝Ｌ(ｖ，ｘ，ｙ)＝1/2×v^2－Ｐ(ｘ，ｙ)

を、例えば極座標に書き直し（ω＝dΘ/dt）、

　Ｌ＝Ｌ(ω，ｒ，Θ)＝1/2×v(ω，r，Θ)^2－Ｐ(ω，ｒ，Θ)

とした上で（代入計算だけです）、

　d(∂Ｌ/∂ω)/dt－∂Ｌ/∂ｒ＝0
　d(∂Ｌ/∂ω)/dt－∂Ｌ/∂Θ＝0

で、あっさりと極座標の運動方程式が出てきます。直上の2式は、座標依存ではありません。一般化力まで持ち込めば、時間に従って変動する曲線座標系での運動方程式も、ほぼ同じ方法で導けます（原理上は）。
　ハミルトニアンは、ラグラジアンと同じ変分原理で等価なので、やはり形式上の扱いは、同じくらい容易です。
　なので座標非依存という事も考慮して、現在でも変分原理が多用されるのだと思います。

＞クリストッフェルの記号が直交性を仮定するとどのように簡約化されるかを調べると、演繹的に直交曲線座標の式が表れると考えています。
　その通りだと、自分も思います。ただ、座標非依存な連続体力学の正書を読んだ経験で言うと、相当な覚悟が必要な気がします。

お礼

回答有難うございました。
一般曲線座標での反変成分の運動方程式の誘導について私の理解の範囲でまとめますと、
１．解析力学的手法（ラグランジアン・ハミルトニアン系）
２．テンソル解析的手法（テンソル積、メトリックテンソル、共変導関数、クリストッフェルの記号など）
３．微分積分学的手法（微分連鎖則、内積程度）
の３つになるように思います。この３番目の手法ですが、私が今まで見た中で最も基礎的なやり方のように思えます。それもまとめますと、
3-1 独立変数を単なる微分の連鎖則で書き換える
3-2 従属変数(未知変数）に関するベクトルの方程式にある内積（座標面の単位法線ベクトルとの）を取ることによって反変成分（座標面に垂直方向）の方程式に変換する。以上
これら３つの方式が等価であることを確認したいなと思います。
さらにその後で、直交性を付加すれば直交曲線座標の式が演繹されると思っています。簡単なことのはずなのにすごく遠い感じがしています。

回答No.2

noname#221368

＞ニュートンの運動方程式（偏微分方程式）みたいな・・・
　この意味が、ちょっとわかりませんでした。

＞rot, grad, divなどベクトル解析の記号が用いられている・・・
　ポテンシャルにはgradが出てきますが、ベクトル解析とニュートン方程式とのどういう関連を問題にしているのか、いま一つピンと来ませんでした。

　というわけで、誤解を含んだ応えかもしれません。

　一般的な話として、#1さんも仰っているように、演算子を具体的な座標で書き下しておいて、その表式をいじりまわして座標依存でない事を示す、というのは結構ある話だと思います。座標依存でない表現を求めると、逆に面倒になる場合が多いので。
　そこで、特定の座標による表現が、座標変換に対して共変だ、不変だという話になる気がします。

　ニュートン方程式について言えば、Lagragianがあるので、ラグランジュ関数自体は座標依存ですが、ラグランジュ方程式の定式化の方は、座標依存でないと思います。
　実際、座標依存のラグランジュ関数を、ラグランジュ方程式で処理すれば、曲線座標系での運動方程式が得られます。

　という方向では、駄目なのでしょうか？。

お礼

回答有難うございます。
一般論としてお尋ねしたため、個別問題をしっかり提示しなかったので混乱を招いた部分があったかもしれません。もう少し具体的に言いますと、流体や固体の変形・運動を記述する方程式（NS方程式や弾塑性方程式など）でのことです。連続体を仮定しているので空間微分が随所に現れます。ですので基底の取り方によって表現が変わってきます。
ニュートンの運動方程式というと粒子運動を真っ先にイメージしますので粒子が衝突して相互作用しない場合内部応力がなく、空間的な微分など関係ないので誤解を与えてしまったかも知れません。済みません。
私はこの問題はテンソル・ベクトル解析あるいは微分積分論、偏微分方程式の範疇で考えています。ラグランジュ方程式というのはいわゆる解析力学における一般化運動量・一般化座標ということでしょうか。そのルートを辿っていくと例えば一般曲線座標での式も誘導されるものなのでしょうか。ハミルトニアンを使って誘導するなどという話も耳にしたことはあります。
例えば一般曲線座標によく出てくるクリストッフェルの記号などはどうやって出てくるでしょうか。そのクリストッフェルの記号が直交性を仮定するとどのように簡約化されるかを調べると、演繹的に直交曲線座標の式が表れると考えています。どうでしょうか。

回答No.1

spring135

通常使われるrot, grad, div等のベクトル演算子は、少なくとも直交曲線座標において座標系に依存しないことを証明するのは難しい話ではありません。斜交する場合はどうなるのかはやったことがないので知りません。斜交座標系は結局使いものにならないことが確認されていて、直交座標系のみが実用されています。

お礼

回答有難うございました。
直交曲線座標の一般式は実はできると思っています。スケールファクターhなどを使います。斜交座標（すなわち基底の直交性を仮定しない場合）は全体的には一般曲線座標などと言われるようです。このようになると反変・共変の区別が出てきます。
直交曲線座標の場合、直交デカルト座標(カルテシアン座標)を特殊なものとして含むはずですから、まさに演繹的に式が誘導されると思います。
さらに発展して直交性も仮定しない場合（しかし直交性は特殊なものとして含む）さらに一般化した方程式になるので直交曲線座標やカルテシアン
座標系での式も演繹されると考えているのですが。