Lie微分の局所座標表示

質問

T(a,b)を可微分多様体M（n次元）上の(a,b)Typeテンソル場、XをM上ベクトル場とするとき、T(a,b)のLie微分を
(i)a=b=0のとき
L_Xf=X(f) fはM上の可微分関数
(ii)a=1,b=0のとき
L_XY=[X,Y]　YはM上ベクトル場
(iii)a=0,b=1のとき
(L_Xω)(Y)=X(ω(Y))-ω([X,Y]) ωは1-形式
(iv)一般の場合ξ∈T(a,b)
(L_Xξ)(ω_1,…,ω_a,X_1,…,X_b)
=L_X(ξ(ω_1,…,ω_a,X_1,…,X_b))
-Σ_[s=1,a]ξ(ω_1,…,L_Xω_s,…,ω_a,X_1,…,X_b)
-Σ_[t=1,b]ξ(ω_1,…,ω_a,X_1,…,L_XX_t,…,X_b)
と定義した場合、
X,ξ夫々の局所座標成分をX^μ,ξ^[μ_1…μ_a]_[ν_1…ν_b]と表すなら、L_Xξの局所座標成分は、
Σ_[λ=1,n]X^λ∂ξ^[μ_1…μ_a]_[ν_1…ν_b]/∂x^λ
-Σ_[s=1,a]Σ_[λ=1,n]ξ^[μ_1…μ_s-1λμ_s+1…μ_a]_[ν_1…ν_b]∂X^μ_s/∂x^λ
-Σ_[t=1,b]Σ_[λ=1,n]ξ^[μ_1…μ_a]_[ν_1…ν_t-1λν_t+1…ν_b]∂X^λ/∂x^ν_t
と表せる。
このLie微分の局所座標成分を、上の定義から導きだす事が出来ませんでした。
ご教示下さい。

回答No.2

eatern27 · ベストアンサー

>成分表示で計算したときに、うまい具合に打ち消し合わなかったので、質問させて頂いたのですが、、もう一度見直してみます。

まずは(1,1)型のテンソルで考えてみてはどうでしょう？

(L_Xξ)(ω,Y)
＝L_X(ξ(ω,Y)) - ξ(L_X ω,Y) - ξ(ω,L_X Y)
＝X^λ∂_λ(ξ^μ_ν ω_μ Y^ν) - ξ^μ_ν(X^λ∂_λω_μ+ω_λ∂_μX^λ)Y^ν - ξ^μ_νω_μ(X^λ∂_λ Y^ν-Y^λ∂_λ X^ν)
＝X_λ(∂_λξ^μ_ν)ω_μY^ν - ξ^μ_ν(∂_μX^λ)ω_λY^ν + ξ^μ_ν(∂_λX^ν)ω_μY^λ
＝{X_λ(∂_λξ^μ_ν) - ξ^λ_ν(∂_λX^μ) + ξ^μ_λ(∂_νX^λ)}ω_μY^ν
となります。

３行目から４行目の部分でωやYに関する微分が消えるのはいいですかね？３行目の第１項の微分を計算すると、ωやYに関する微分を含む項が出てきますが、これは後ろに出てくる項と全く同じ形をしていますよね。

ですので、L_X ξを成分で書くと、
X_λ(∂_λξ^μ_ν) - ξ^λ_ν(∂_λX^μ) + ξ^μ_λ(∂_νX^λ)
のようになります。より高階のテンソルについても同様ですね。(大雑把に言えばsやtに関する和がつくだけです)

お礼

手取足取りといった感じで有難うございます。
単純に足のつけ間違えをしていたりとかでうまくいってなかったようで、一般の場合でも公式を導くことが出来ました。

補足

ところで、甘えて関連させて質問させて頂きたいのですが、
実は、一般の微分作用素において、0-formに対する作用と、ベクトル場に対する作用さえ定義すれば、一般のテンソル場に対する作用は決まる、つまり、私の質問で、(i)(ii)だけから(iv)はおのずと決まってしまうということが（ある本に）書かれていたのですが、この事はどのように示されるのでしょうか。非常に興味深いので、筋道だけでもご教示頂けるとありがたいです。

回答No.3

eatern27

>実は、一般の微分作用素において、0-formに対する作用と、ベクトル場に対する作用さえ定義すれば、一般のテンソル場に対する作用は決まる、

１．(a,b)型のテンソル場から(a,b)型のテンソル場への線形写像である(特に、テンソル場の型を変えない)
２．テンソル積についてライプニッツ則(積の微分)が成り立つ
３．縮約をとる操作と可換
の３つの条件を満たしている時に、そのような事が言えます。

まずは、1-形式の微分を求めます。(微分作用素をＤとします)
ω(X)はωとXのテンソル積を縮約したものであることから、
Ｄ(ω(X)) ＝ (Ｄω)(X) ＋ ω(ＤX)
が成り立ちます。今、ω(X)とXに対するＤの作用の形が分かっていれば、
(Ｄω)(X) ＝ Ｄ(ω(X)) － ω(DX)
により、Ｄωが一意に決まります。

一般のテンソル場Ｔは、ベクトル場と1-形式のテンソル積たちの線形結合で書けます。従って、Ｄの線形性とライプニッツ則からＤＴが決まります。

お礼

ありがとうございました。
これから勉強していく指針になりました。

回答No.1

eatern27

簡単のため、
∂/∂x^λ→∂_λ
のように書くことにして、Σを省略(重複している添え字について、適当な範囲で和をとる)しますが、

X(f)を成分で書くと、X^λ∂_λ　f
L_X Yを成分で書くと、X^λ∂_λ Y^μ-Y^λ∂_λ X^μ
L_X ωを成分で書くと、X^λ∂_λω_μ+ω_μ∂_λX^μ
となることはＯＫですか？

ＯＫであれば、これを使って、
>(L_Xξ)(ω_1,…,ω_a,X_1,…,X_b)
>=L_X(ξ(ω_1,…,ω_a,X_1,…,X_b))
>-Σ_[s=1,a]ξ(ω_1,…,L_Xω_s,…,ω_a,X_1,…,X_b)
>-Σ_[t=1,b]ξ(ω_1,…,ω_a,X_1,…,L_XX_t,…,X_b)
を計算してやるだけですね。計算の途中で、ω_1やX_1などの微分の項が出てきますが、これらは上手い具合に打ち消しあってくれます。

ところで、
>Σ_[λ=1,n]X^λ∂ξ^[μ_1…μ_a]_[ν_1…ν_b]/∂x^λ
>-Σ_[s=1,a]Σ_[λ=1,n]ξ^[μ_1…μ_s-1λμ_s+1…μ_a]_[ν_1…ν_b]∂X^μ_s/∂x^λ
>-Σ_[t=1,b]Σ_[λ=1,n]ξ^[μ_1…μ_a]_[ν_1…ν_t-1λν_t+1…ν_b]∂X^λ/∂x^ν_t
一番最後の項はマイナスではなく、プラスでは？

お礼

成分表示はOKです。
成分表示で計算したときに、うまい具合に打ち消し合わなかったので、質問させて頂いたのですが、、もう一度見直してみます。
ご指摘通り、最後の項はプラスでした。
ありがとうございました。