解析力学でいろいろわからずに困っていますので、お知恵を拝借できれば助か

質問

解析力学でいろいろわからずに困っていますので、お知恵を拝借できれば助かります。

1) x と q の座標変換で　∂(dx(j)/dt)/∂q(i) = d(∂x(j)/∂q(i))/dt という式があり、全微分などで変換過程はおえるのですが、意味のコンセプトが把握できません。dx(i)/dt というのはx座標系における速度でq座標系と関係ないので、常にq で偏微分してもゼロになるかと思ってしまうのですが、左辺の物理的な意味はどう解釈すればいいのでしょうか？右辺の形からxとqの座標の変換関係が時間の関数であるというのはわかるのですが、それ以上、思考が進みません。

2) 一般化運動量が p(i)=∂T/∂(dq(i)/dt)で定義されるのは、定義として受け入れるとして、通常の直交座標で　p(x)= ∂T/∂(dx/dt)が T=1/2 (m (dx/dt)^2) と　p(x)= m(dx/dt) から成立するのも当然わかるのですが、p(x)= ∂T/∂(dx/dt)と表記することの物理的な意味合いは直感的にどう理解すればいいでしょうか？エネルギーを速度で偏微分すると運動量がでるということだと、思いますが。

よろしくお願いいたします。

回答No.4

heboiboro · ベストアンサー

パソコンだとドットが上手くつけられないので、以下時間微分をx'で表します。また添え字はしばしば省略してます。

＞dx(i)/dt というのはx座標系における速度でq座標系と関係ないので、常にq で偏微分してもゼロになるかと思ってしまうのですが
これですが、xの時間微分x'をqとq'の関数と考えることができる、という前提があって初めて成り立つ表現です。つまりx'(q,q')。
（そのように考えられることは、x'(t) = dx(q(t))/dt = ∂x(q)/∂q dq(t)/dt = ∂x(q)/∂q q'(t) となることから。見づらくてすみません。簡略化してます）。
つまり、一般に一般化座標とその時間微分の両方が分かれば、速度は一意に分かるということです。
たとえば極座標なら、r,θ,r',θ'が分かれば速度ベクトルが一意に決定されますよね。何を独立変数として考えているのか注意してください。

ですから、∂(x')/∂q_i とは、q_i以外の座標成分と「座標の時間微分」q'は一定に保ったまま、q_iを少し変化させたら、速度ベクトルx'はどう変化するか？ ということを表しています。

お礼

ありがとうございます。いろいろ考えており返事が遅くなりました。heboilboro さんの説明で、疑問が氷解したように思います。

例をあげて確認させてください。補足だと、図が添付できないので、言葉で書きます。

たとえば、二次元直交座標と、平面極座標でいうと、一単位時間に(r,θ) = (1, 0) -> (2,π/4) に増加するとき、r'=1 で θ'=π/4 となりますが, (x,y) は (1,0) -> (2/√2, 2/√2)に動き、x'=2/√2-1, y'= 2/√2となると思います。この例だと、∂(dx/dt)/∂r　というのは、r のスタートラインを一単位変えて、同じ動きをしたとき、つまり、(r,θ) = (2, 0) -> (3, π/4)という動かし方をしたとき、(x,y) は (2,0)-> (3/√2, 3/√2)で、x'=3/√2-2, y'= 3/√2, となるので、もとものとx' 新しいx'の差の(3/√2-2)-(2/√2-1)=1/√2-1が該当するという理解でよろしいでしょうか？（もちろん微小時間とは異なりますので、すこし実際は変わると思いますが。）

補足

五月雨式に恐縮ですが、添付していただいた図の内容がわかりません。v とはどんな関数でしょうか？図の内容への説明も補足いただけると助かります。

回答No.5

heboiboro

左辺の意味については概ねそれでいいと思います。

僕が添付した図ですが、うっかり説明を付け忘れました。
∂x'/∂q_i = d(∂x/∂q_i)/dt という等式について、僕なりの解釈を描いたつもりです。以下に簡略化した説明を書きますが、正しいとも限りませんし必要なければ飛ばしてください。

ある時刻tに空間上の点x(t)に速度x'(t)を持つ粒子があったとします。それぞれを一般化座標で表したものがq(t),q'(t)だったとします。
この粒子を「(q'を保ったまま)q_iを微小な?q_iだけずらす→微小な?t秒間だけ運動させる」ということを考えると、粒子のx(t)からの変位は、∂x(t)/∂q_i ?q_i + x'(q+?q, q') ?t です。
一方で、「?t秒間だけ運動させる→q_iを?q_iだけずらす」ということを考えると、粒子のx(t)からの変位は、x'(q,q')?t + ∂x(t+?t)/∂q_i ?q_i となります。

前者から後者を引くと、{∂x(t)/∂q_i ?q_i + x'(q+?q, q') ?t} - {x'(q,q')?t + ∂x(t+?t)/∂q_i ?q_i} = {x'(q+?q,q')-x'(q,q')}?t - {∂x(t+?t)/∂q_i-∂x(t)/∂q_i}?q_i = ∂x'(q,q')/∂q_i ?q_i?t - d(∂x/∂q_i)/dt ?q_i?t
これが0に等しいというのはご質問の等式に他ならず、よってご質問者様の等式は「q_iを?q_iだけずらす（平行移動する）操作と、粒子を?t秒だけ移動させる操作は可換である」ということを示していると解釈することができます。
（もっとも、上の議論はちょっと議論の仕方を変えるだけで、どちらを先にやっても変位が等しいことがご質問の等式を使うことなしに簡単に示せますが、この等式が数式変形だけで導かれるものであることを考えれば当然です）
これを、「互いにq_iが?q_i違うだけ（q'は同じ）の粒子は、どんなに時間が経ってもどちらかがどんどん先に行ってしまったりすることなくつかず離れずで移動する（?q_iの距離を保ち続ける）」とでも解釈すれば、なんとなく物理的意味がありそうに見えるなあということなどを考えていました。
（もっともこの式について無理に物理的イメージを考える必要性も感じませんが）

以上の考察の正しさについては正直あまり自信はありません。

お礼

何度もありがとうございます。?マークに表示されているのは、デルタが文字化けでしょうか。

図の意味、考察については、たしかに、微小時間、微小距離でいうかぎりは、平行移動とt秒動かす動作は順序が変わっても同じと理解しました。∂(dx(j)/dt)/∂q(i) = d(∂x(j)/∂q(i))/dt　は確かにそういう意味になりそうな気がします。

ただ、この式は、ラグランジュの方程式の導出過程で出てきただけの式なので、おっしゃる通り、物理的なイメージを考える必要はないかもしれません。ただ、そもそも、dx/dt が qやq'で微分できるというところで行き詰まっていましたので、ご回答大変助かりました。

回答No.3

moumougoo

（１）ですが、suminoriさんがおっしゃっているように、座標変換なので、xは空間全体の座標で、qの関数だと考えればよいのでは？
つまり、dx/dtは空間全体で定義されている速度場で、
∂(dx/dt)/∂qは速度場の場所qによる変化、
d(∂x/∂q)/dtは座標変換係数（行列）の時間変化
となるのではないでしょうか？
粒子１個の運動を追っているんだけど、力学系としては、座標や速度をパラメータとしてすべての場合の運動を考えて＝つまり、解析的に系をとらえるというのが解析力学なのでは？

（２）ですが、
運動量pの時間微分で運動方程式があらわされるのと対比して、ラグランジュ方程式を眺めると、運動量にあたるので、一般化運動量といっているだけでは？
私としては、どちらかというとハミルトニアンにうつるときのルジャンドル変換の極値条件という印象がつよいのですが。

お礼

１）ありがとうございます。速度場というのを調べてみて、疑問に思ってきたことが、なんとなく理解できたように思います。d(∂x/∂q)/dtのイメージは分かりますが、∂(dx/dt)/∂qは、x座標での一定の速度ベクトルが、移動しているq座標からみると、変化してみえるということでしょうか？

２）運動量pの時間微分で運動方程式を作るのは物理的な感覚も分かっているつもりですが、結局、それに「整合性をとるために」、一般化運動量というのをエネルギー側から定義しているだけで、この形式（エネルギーの速度での偏微分）での表現にはあまり直交座標での物理的な意味はあまりないとの理解とのことですね。ハミルトニアンにうつるときのルジャンドル変換の極値条件というのはまだ、このあたりの計算過程を十分理解できていないまま、教科書を追っているだけなのですが、腰を落ち着けて考えてみます。ありがとうございました。

回答No.2

hitokotonusi

そのまま計算すればいいことなんですが・・・・・

dx1/dt = d/dt(r cosθ)=(dr/dt)cosθ-r(dθ/dt)sinθ
=(dq1/dt)cos(q2) - q1(dq2/dt)sin(q2)

∂(dx1/dt)/∂q1 = - (dq2/dt)sin(q2)
∂(dx1/dt)/∂q2 = -(dq1/dt)sin(q2) - q1(dq2/dt)cos(q2)

お礼

ありがとうございます。計算の考え方が明確になりました。具体例でみるとより、スムーズに理解できました。

回答No.1

hitokotonusi

1)x,qの意味が書いてないですが、座標変換なので、

qj=qj(x1,x2,・・・・,xn,t)

でしょうから、逆に解いて

xi = xi(q1,q2,・・・,qf,t)

たとえば、xが二次元直交座標、qを平面極座標とすると

q1 = r = √[x^2+y^2]
q2 = θ = arctan(y/x)

x1 = x = r cosθ
x2 = y = r sinθ

で、

∂x1/∂q1 = ∂x/∂r = cosθ

など。

2)一般化運動量がどんな物理量になるかは一般化座標しだいなので、物理的な意味合いはケースバイケースです。一般論を論じても意味がないと思います。

補足

さっそく、ありがとうございます。

1) はxが二次元直交座標、qを平面極座標という例でいいのですが、
∂(dx(j)/dt)/∂q(i) = d(∂x(j)/∂q(i))/dt
について知りたいのです。単にx と q の座標の偏微分　 ∂x1/∂q1 = ∂x/∂r はなく、dx/dt と q の間の偏微分です、それが、右辺の xとq の間の偏微分の結果の (∂x/∂q) の時間微分になるという式です。いただいた例では、両辺とも、- sin θ dθ/dt ということになりますでしょうか。

よく意味合いがわからないのは、この∂(dx(j)/dt)/∂q(i)=- sin θ dθ/dt の物理的意味合いです。dx/dt は二次元直交座標での速度でそれの関数を q　で偏微分するとはどういう意味で解釈したらよろしいのでしょうか？なんか勘違いをしていると思うのですが、アドバイスいただければ幸いです。

2) はおっしゃる通り、一般論はむりかもしれませんが、普通の二次元直交座標では、p(x)= ∂T/∂(dx/dt)はどういう物理的意味合いになりますか？