固定されたデカルト座標での運動方程式

質問

質量ｍをもつ質点の、時刻tにおける位置ベクトルをｒ↑(t)とする。

運動方程式は、ベクトル形式でm(d^2r↑(t)/dt^2)=F↑(r↑(t),t)と表せる。

x軸、y軸方向それぞれの単位ベクトルをex↑,ey↑とする。

時刻ｔにおける質点のデカルト座標をx(t),y(t)とする。

r↑(t)をx(t),y(t)で表せ。

r↑=xex↑+yey↑　　　　ここからどうすればよいのですか？

詳しい解説お願いします。

回答No.3

NemurinekoNya · ベストアンサー

x = x(t), y = y(t)とするね。

r↑ = x・ex↑ + y・ey↑
dr↑/dt = (dx/dt)・ex↑ + (dy/dt)・ey↑　　　　　　（※）
d^2r↑/dt^2 = (d^2x/dt^2)・ex↑ + (d^2y/dt^2)・ey↑
そして、このd^2r↑/dt^2を運動方程式の左辺のd^2r↑/dt^2に代入すれば、いいんじゃないかな。

（※）
dr↑/dt = d(x・ex↑)/dt + d(y・ey↑)/dt
= (dx/dt)・ex↑ + x・(dex↑/dt) + (dy/dt)・ey↑ + y・(dey↑/dt)
となるのだけれど、
　dex↑/dt = 0↑
　dey↑/dt = 0↑
なので、
　dr↑/dt = (dx/dt)・ex↑ + (dy/dt)・ey↑

まぁ、ここまで詳しく書かなくてもいいと思うけれどね。

お礼

dex↑/dt = 0↑
dey↑/dt = 0↑
となるのはex↑,ey↑は固定されているからですか？

回答No.4

NemurinekoNya

ex↑、ey↑の方向が時間によって変わらないから。
なにしろ、
　ex↑ = (1,0)
　ey↑ = (0,1)
だからね～。
これを時間tで微分すると、0↑になります。

お礼

詳しい解説ありがとうございます。

回答No.2

ybnormal

デカルト座標上では、r↑(t)=(x(t), y(t))なんだから、

≫r↑=xex↑+yey↑　　　　ここからどうすればよいのですか？

これで終了なんじゃないの。
厳密にはr↑(t)=x(t)ex↑+y(t)ey↑

お礼

詳しい解説ありがとうございます。

回答No.1

endlessriver

r↑(t)=x(t)ex↑+y(t)ey↑

お礼

詳しい解説ありがとうございます。