運動エネルギーと座標変換

質問

運動量や角運動量保存について学んでいるのですが、それ等の法則と座標系についての関係についてよく分かりません。
運動エネルギーを一般座標系を位置座標X,Y,Zで表示すれば
T=m/2(x'^2+y'^2+z'^2)
x'=dx/dt

と、一般座標が一切入らず、一般速度だけで表すことが出来るはずです。

しかし、一般座標系を例えば球面座標系（r、θ、φ)
として表せば

T＝m/2(r'^2+(rθ')^2+(rsin(θ)φ')^2)

と、一般座標rとθが入り混じった形式になってしまいます。

つまり、デカルト座標、X,Y,Zを使えば、自由運動をしている粒子の運動量がX,Y,Zと3方向保存されるのに、
球面座標系で表せば、φしか循環座標ではないので、
Z軸に対しての角運動量が保存される、と言えると思います。

そこで、疑問なのが、まず

１)デカルト座標系での例で、
「運動エネルギーは位置座標によらない」
と示唆しているような気がします。
しかし、球面座標系では
「運動エネルギーは位置座標に依存している（rとθ)」
と結論ずけている気がします。

この両者は矛盾しているのではないでしょうか？

２)
何故運動保存が座標系によって変わるのか。
粒子の運動と言うのは物理的に存在しているのであって、座標系を変えることでその運動自体は変わらないのに、保存される量が変わると言うのは直感的に理解出来ません。

３)
後、何故φに対する運動量は保存され、θに対する運動量は保存されないのか。（循環座標ではないのか)。
言ってみれば、φはZ軸のまわりの角度を表し、θは（例えば)X軸やY軸の周りの角度を表しているはずです。
何故φの運動量だけが保存されるのか分かりません。

どなたかご教授して頂ければ幸いです。
長文乱文失礼いたしました。
よろしくお願いします。

回答No.4

eatern27

(1)
数学的には計量テンソルが位置に依存しているからという答えになりますかね。

例えば「１秒間に定規の１０目盛分移動した」という事が分かっていたとしても、これを実際の速さに換算したいと思ったらどうしたってその定規の目盛の間隔がどれだけなのかという事が分かってないといけませんよね。極座標ではこの目盛の間隔(計量テンソル)が位置に依存しているんです。

(2)
保存量自体は変わってません。
保存されている事が分かりやすいかどうかが違うだけです。

(3)
φが変わるとθ方向の運動量の向き(角運動量の向きというべきかな)が変わってしまうからという理解でいいでしょう。

回答No.3

NemurinekoNya

自由運動していれば、
　(r'^2+(rθ')^2+(rsin(θ)φ')^2)
のθ'=0、φ'=0になるのではないかい？

速度成分はr方向以外にないと思うんだが・・・。
θとφは運動の方向を示すけれど、この値は変化しないんじゃないか。

つまり、自由運動であれば、
r'^2も、(rθ')^2、(rsin(θ)φ')^2の値も変化しない。
保存（？）されている・・・。

矛盾はしていないと思うんだが・・・。

☆何故運動保存が座標系によって変わるのか。
◇運動エネルギーは、《スカラ》だから、座標系によらず、同じ値をとる。
変わったら、大事よ（ニコニコ）。
座標系によって運動エネルギーの表示の見てくれが変わっても、
その値は座標系によらず同じ値をとります。
極座標に基づく速度表現でされようと、デカルト直交座標系であろうと、
より一般的な曲線座標であろうと、
運動エネルギーの値は変わらない。
《スカラ》量とは、そういうものです。

☆何故φの運動量だけが保存されるのか分かりません。
◇自由運動ならば、運動量のφ、θ成分もともにゼロですよ。
そして、r方向の成分は一定で変わらない！！

回答No.2

hitokotonusi

質問は，運動エネルギーが座標に依存するかどうかですよね？

スカラーである運動エネルギー，そして，同じくスカラーである速さ(速度ベクトルの大きさ)は，見かけ上依存しているようでも変数相互間の関係によって座標には依存しません。それをいくつかの例で見ました。

ベクトルの成分は座標系の取り方に依存し，一般には座標にも依存します。当たり前ですが。

>dv^2/dθ=4L^2(tanθ)(sec^4θ)

θ'もθに依存しますからこうはならないですよ。
θ'を定数とすると等速にはなりません。

回答No.1

hitokotonusi

＞しかし、球面座標系では「運動エネルギーは位置座標に依存している（rとθ)」

それは見かけ上そう見えているだけで，

v^2 = r'^2+(rθ')^2+(rsin(θ)φ')^2

は座標によりません。面倒なので平面極座標の

v^2 = r'^2+(rθ')^2

で考えて，まず同じ速さで円運動をしている(r'＝0)とすると，

θ' = v/r

なので，半径が2倍になれば角速度θ'が半分になって速度を維持します。

これと同じことで，原点からの距離が異なる二つの物体が同じ角度方向の速度成分をもっているとすると，原点からの距離と角速度が逆比例の関係になっています。

つぎに，原点からL離れたx軸に平行な直線上を物体が等速で移動することを考えると，x = L tanθ, y = Lなので原点からの距離rは

r = √[ L^2 tan^2θ + L^2] = L√[1+tan^2θ] = L/cosθ

となり，極座標ではrとθが独立ではなくなります。

以下，速度はy'=0なので

v = x' = (L/cos^2θ)θ'

から

θ' = v cos^2θ/L

r' = (Lsinθ/cos^2θ)θ' = (Lsinθ/cos^2θ)(v cos^2θ/L) = v sinθ
rθ' = (L/cosθ)(v cos^2θ/L) = v cosθ

となって，

r'^2 +(rθ')^2 = v^2 ( sin^2θ+cos^2θ) = v^2

となり，座標には依存しません。

お礼

回答ありがとうございます。

運動エネルギーはT=mv2/2
v=(r'+rθ'+rsin(θ)φ')
なので、当たり前のことなのですが、速度にしか依存しないはずなのは分かります。
そして、hitokotonusi様の証明により、x方向に常に一定速度で運動している粒子の運動エネルギーは
v^2に依存するとありました。
これは運動エネルギー自体は観測者に依存しない、と言う証明になると思います。

しかし、前提に

v = x' = (L/cos^2θ)θ'

とありますから

v^2= (L/cos^2θ)^2θ'^2

となり、

dv^2/dθ=4L^2(tanθ)(sec^4θ)

なのでやはり速度は、極座標系では位置座標に依存する、と言う事にならないでしょうか？
依存すると言うのは、一般速度のみで運動エネルギーが表せない、と言うことです。

つまり、hitokotonusi様のやったように

vをx’とすることで、極座標での速度がvと表せる
それはすなわち、極座標系から直交座標系に座標変換をした、
と言う事と同じではないでしょうか？

というのも、直交座標系で表した一般座標では、完全に一般座標が運動エネルギーで消えてしまい、
一般速度しか残らない、と言うのは明白です。
しかし、極座標系では”速度”は一般座標と一般速度が入り混じった形になってしまいます。
そして、一般座標とは、それが長さであれ、角度であれなんらかの「位置」を指定出来るモノですから、
やはり”速度”に一般座標が入っているということは速度が「位置」に依存すると言うことです。

整理すると、私が最も混乱させる原因と言うのは、

何故一方の座標系では速度は完全に一般速度で表せ、
もう一方では入り混じった形になるのか。

無論、物理的に考えれば、極座標では基底自体が位置に依存しているので、速度ベクトルも依存するはずです。
しかし、何故そういう事が起きてしまうのか。。それが分からないのです。

これは、hitokotonusi様が途中仰っていたr、θとφが互いに独立ではない、
と言う事から来るのでしょうか。。。