保存力のときの一般化力について

質問

解析力学で一般化座標系での力（一般化力）を学んだのですが，『デカルト座標系での外力Fが保存力のとき，Fi=-dU/dxi というポテンシャルエネルギーU が定義でき，それを使うと一般化力も同じ形 (Gj=-dU/qj) になる』という部分が分からなくて困っています．
教科書では Fi=-dU/dxi を一般化力の定義式 Gj=ΣFi(dxi/dqj) に代入すると導かれるとなっているのですが，シグマで和を取ると座標系の数Nを掛けて Gj=N x (-dU/dqj) になるのではないかと思えます．きっと単純な思い違いをしているのだと思いますが，どなたかご教示していただけないでしょうか．よろしくお願いいたします．

回答No.2

ojisan7 · ベストアンサー

>シグマで和を取ると座標系の数Nを掛けて Gj=N x (-dU/dqj) になるのではないかと思えます．

決して、そのようにはなりません。もう一度、多変数の合成関数の微分の公式を復習して下さい。一般的に、
z=z(x,y)が全微分可能でx=x(u,v),y=y(u,v)が偏微分可能であれば、
∂z/∂u=(∂z/∂x)(∂x/∂u)+(∂z/∂y)(∂y/∂u)
∂z/∂v=(∂z/∂x)(∂x/∂v)+(∂z/∂y)(∂y/∂v)
が成り立ちます。

お礼

ご回答下さってありがとうございました．『多変数の合成関数の微分』正にその通りです！ようやく理解することができました．ありがとうございました．

回答No.1

connykelly

Fi=-dU/dxi を Gj=ΣFi(dxi/dqj) に代入すると分母分子にあるxiが消せます。詳細は参考URLを見てください。

参考URL：

http://www.mns.kyutech.ac.jp/~okamoto/education/mechanicsII/lagrangeeq_text.pdf

お礼

ご回答下さってありがとうございます．参考URLにあるPDFは既に参照していたのですが，xiが消えた後残る -dU/dqj は i とは無関係になるので，N x (-dU/dqj) になるのでは？と思ってしまった次第です（きっと思い違いなんですが）．なので，まだPDF中の（21）式が完全には理解できておりません．