次の方程式、不等式を解け。ただし・・・・

質問

次の方程式、不等式を解け。ただし、0≦θ≦2πとする。

(1)2sin^2θ-5cosθ+1=0

(2)tan(2θ+π/4)=1

(3)cos2θ>3-5sinθ

(4)sin2θ<sinθ

三角方程式、三角不等式分からないです。。

回答No.4

yyssaa · ベストアンサー

(1)2sin^2θ-5cosθ+1=0
2sin^2θ-5cosθ+1=2(1-cos^2θ)-5cosθ+1=0
2cos^2θ+5cosθ-3=0
cosθ={-5±√(25+24)}/4=(-5±7)/4
cosθ=-3はあり得ないので、cosθ=1/2
よって、θ=π/3及びθ=5π/3・・・答え
(2)tan(2θ+π/4)=1
tan(2θ+π/4)
={(tan2θ)+tanπ/4}/{1-(tan2θ)(tanπ/4)}
=(tan2θ+1)/(1-tan2θ)=1
2tan2θ=0
tan2θ=0
0≦θ≦2πより0≦2θ≦4π
2θ=0,π,2π,3π,4π
よって、θ=0、θ=π/2、θ=π、θ=3π/2及びθ=2π・・・答え
(3)cos2θ>3-5sinθ
cos2θ=cos(θ+θ)=cosθcosθ-sinθsinθ
=(1-sin^2θ)-sin^2θ=1-2sin^2θ
-1+2sin^2θ<-3+5sinθ
2sin^2θ-5sinθ+2<0
2sin^2θ-5sinθ+2=2{sin^2θ-(5/2)sinθ}+2
=2(sinθ-5/4)^2+2-2*25/16=2(sinθ-5/4)^2-9/8<0
(sinθ-5/4)^2<9/16
|sinθ-5/4|<3/4
sinθ-5/4<0であるから5/4-sinθ<3/4
sinθ>5/4-3/4=1/2
よって、π/6<θ<5π/6・・・答え
(4)sin2θ<sinθ
sin2θ=sin(θ+θ)=sinθcosθ+cosθsinθ=2sinθcosθ
2sinθcosθ<sinθ
(sinθ)(2cosθ-1)<0
sinθ>0で2cosθ-1<0・・・(ア)
sinθ<0で2cosθ-1>0・・・(イ)
(ア)より
sinθ>0　→　0<θ<π
cosθ<1/2　→　π/3<θ<5π/3
共通の範囲をとってπ/3<θ<π
(イ)より
sinθ<0　→　π<θ<2π
cosθ>1/2　→　0<θ<π/3 及び 5π/3<θ<2π
共通の範囲をとって5π/3<θ<2π
よって、π/3<θ<π及び5π/3<θ<2π・・・答え

回答No.3

ferien

ANo.2です。以下のように訂正お願いします。解が１個抜けていました。

＞２θ＝０，π，２π，３π，４πより、よって、θ＝０，π/2，π，３π/2，２π
です。

回答No.2

ferien

次の方程式、不等式を解け。ただし、0≦θ≦2πとする。
0≦θ≦2π　……（１）だから、－１≦sinθ≦１，－１≦cosθ≦１　……（２）
＞(1)2sin^2θ-5cosθ+1=0
２（１－cos^2θ）－5cosθ+1＝０
２cos^2θ＋５cosθ－３＝０
（２cosθ－１）（cosθ＋３）＝０
（２）より、cosθ＝－３は成り立たないから、
２cosθ－１＝０より、cosθ＝１／２
（１）より、θ＝π/3，5π/3

＞(2)tan(2θ+π/4)=1
（１）のとき、０≦２θ≦４π　π/4≦２θ＋π/4≦４π＋（π/4）＝17π/4
このとき、2θ+π/4＝π/4，５π/4，９π/4，13π/4，17π/4
２θ＝０，π，２π，３π，４πより、よって、θ＝０，π/2，３π/2，２π

＞(3)cos2θ>3-5sinθ
２倍角の公式より、cos２θ＝１－２sin^2θ
１－２sin^2θ＞3-5sinθ
２sin^2θ-5sinθ＋２＜０
（２sinθ－１）（sinθ－２）＜０
1/2＜sinθ＜２　（２）より、
1/2＜sinθ≦１
単位円でｙ＝1/2より上の範囲だから、
よって、π/6＜θ＜５π/6

＞(4)sin2θ<sinθ
２倍角の公式より、sin２θ＝２sinθcosθ
２sinθcosθ＜sinθ
（２cosθ－１）sinθ＜０より、
２cosθ－１＞０，sinθ＜０…（３）　または、２cosθ－１＜０，sinθ＞０　…（４）
（３）のとき、cosθ＞1/2，sinθ＜０より、
単位円でｘ＝1/2より右側，ｙ＝０（ｘ軸）より下側だから、
０≦θ＜π/3，５π/3＜θ≦２π　と　π＜θ＜２π　の共通部分は、５π/3＜θ＜２π
（４）のとき、cosθ＜1/2，sinθ＞０より、
単位円でｘ＝1/2より左側，ｙ＝０（ｘ軸）より上側だから、
π/3＜θ＜５π/3　と　０＜θ＜π　の共通部分は、π/3＜θ＜π
よって、π/3＜θ＜π　または、５π/3＜θ＜２π

回答No.1

masssyu

書き込んでいる時間がないので、解説がいるなら補足か何かつけてください

（1）θ＝π/3 , 5/3π
（2）θ＝0 , π/2 , π , 3π/2
（3）π/6<θ<5π/6
（4）π<θ<5π/3 または 0≦θ<π/3

急いで解いたので間違ってたらごめんなさい