三角関数を含む不等式の問題です

質問

三角関数を含む不等式の問題です

　０<θ<２πのとき不等式COSθ＜１/√２をとけ

　解答は
　０<θ<２πの範囲でCOSθ＝１/√２
となるθは,θ＝π／４、π／７
よってπ／４＜θ＜π／７

なのですが

０＜θ＜π／４、π／７＜θ＜２π
との区別が付きません。

分かりやすい判断のしかたを教えてください。
お願いします。

回答No.3

ONEONE · ベストアンサー

cosθは単位円上の点のx座標でした。

図をご覧ください。
今回cosθ<1/√2なので、単位円とx=1/√2を描くと
求める範囲は単位円のx=1/√2より左側の部分です。
今回θの範囲が0<θ<2πなので円一周分（θ=0を除く）ですから
求める角度は図の赤い矢印の部分となります。

お礼

説明ありがとうございます
図がわかりやすかったのでベストアンサーに
させていただきました。

回答No.2

asuncion

くだんの2つの直角三角形を描いたとき、X=1という壁が立ちふさがっていて、
その壁を越えられない（cosθが1/√2を超えられない）ような角度をイメージするとよいかもしれません。

お礼

二回もありがとうございます。

回答No.1

asuncion

＞０<θ<２πの範囲でCOSθ＝１/√２
＞となるθは,θ＝π／４、π／７

まず、これが間違っていると思います。
π/7ではなくて、7π/4ではないでしょうか。

たぶん、考え方は下記のようなことだと思います。
cosθ=1/√2
となるような直角三角形を考えると、例の1:1:√2というのが浮かぶと思います。
そこで、斜辺が√2でX座標が1となるような直角三角形を考えます。
すると、斜辺は第1象限と第4象限に来ることがわかると思います。
このとき、2つの直角三角形のXの最大値は1となります。
問題はcosθ<1/√2
ということですので、Xが1より小さくなるようなθの範囲を求めることに帰着すると思います。
これを考えると、θはπ/4より大きくて7π/4よりも小さい角であることがわかるのではないでしょうか。

お礼

詳しい説明ありがとうございます。