位数６の群を分類したいです。

質問

Ｇを位数が６の群とする
Ｇ≅Ｚ/6Ｚ　or S3　のどちらかに同型になることを示したいのですが、
シローの定理からＰ３：３－Sylow部分群　ｓ３：Ｐ３の個数　Ｐ２：２－Sylow部分群　ｓ２：Ｐ２の個数
とすると、シローの定理からｓ３＝1、ｓ２＝1,3となり、
（1）ｓ２＝１の時は、Ｇ≅Ｚ/2Ｚ×Ｚ/3Z≅Ｚ/6Ｚ
ということは分かったのですが、
（２）s2=3の時はＧ≅Ｓ３になると思うのですが、これをどう示したらよいかが分かりません。
教えていただけませんですか？

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

シローの定理より
2シロー群{e,a}が存在
3シロー群{e,b,b^2}が存在．3シロー群はひとつしかない．

そこで ab の位数 o(ab) を考える

o(ab)=1,2,3,6である

o(ab)=1ならば ab=e，b=a^{-1}=aで不適

o(ab)=6ならば 位数6の群Gに位数6の要素があるので
Gは巡回群Z/6Z

o(ab)=2ならば abab=e つまり aba=b^{-1}
つまり Gはa^2=e, b^3=e aba=b^{-1}で生成される群でありこれは
三次二面体群D_3すなわち3次対称群S_3

o(ab)=3ならば
abが生成する巡回群<ab>は3シロー群
3シロー群はひとつしかないので
ab=e,b,b^2
ab=eは不適
ab=bも不適
ab=b^2も不適
よってo(ab)は3とはならない

以上より
位数6の有限群は
巡回群か3次の対称群

実際はもっと強いことがいえて
素数p，qに対して
位数pqの群が決定できます
シローの定理と自己同型の組合せ
♯ぐぐると力作のPDFがすぐ見つかります

お礼

ありがとうございます。
少し分かったような気がします