2次方程式 解の公式を利用する解き方について

質問

スタディサプリで数学を勉強しています。
2次方程式の解き方として、解の公式を利用する解き方が解説されていました。

ax2+bx+c=0
x2+bx/a=-c/a

までは分かるのですが、
x2+bx/a+(b/2a)2=b2-4ac/4a2
という、両辺にxの係数の1/2の2乗を加える、という行程が理解できません。

そうすれば、(x+b/2a)2と2乗で括れて、平方根使って終わりというのは分かるのですが、なぜ加えるのがxの係数の1/2の2乗なのか、というのが理解できないんです。

壮大な話をすると、なぜ先人はxの係数の1/2の2乗を加えれば解けると気づいたのか、ということです。

他ではだめだったのか、それをどのようにして求めたのか、というのが知りたいです。

地道にやったり、今までのことを活用すれば分かる話なのかもしれませんが、僕には無理でした。

長文でしたが、回答して下さると助かります。

回答No.1

kiha181-tubasa · ベストアンサー

＞両辺にxの係数の1/2の2乗を加える、という行程が……

xの2乗をx^2で表します。
(x+A)^2=x^2+2Ax+A^2
の左右を入れ替えて
x^2+2Ax+A^2=(x+A)^2　……①
の等式（因数分解の公式ですね）を「横目で見ながら」与えられた2次式を変形していきましょう。

ax^2+bx+c=0
両辺をaで割ると（その目的はx^2の係数を①のように「１」にするためです）
x^2+(b/a)x+c/a=0
x^2+(b/a)x=-(c/a)　……②
そこでこの左辺と①を見比べてください。
(　　)^2の形にするには，A^2が必要ですね。
そしてb/aが2Aにあたるので，Aはb/aの半分つまりA=(b/2)/a=b/(2a)であることがわかります。
だから，左辺で①を使うためには②の両辺に(b/(2a))^2を加えているのです。
x^2+(b/a)x+(b/(2a))^2=-(c/a)+(b/(2a))^2
(x+b/(2a))^2=-(c/a)+b^2/(4a^2)
(x+b/(2a))^2=(-4ac+b^2)/(4a^2)
……　以下略　……

＞なぜ先人はxの係数の1/2の2乗を加えれば解けると気づいたのか……
何事もそうですが，最初の人はきっと試行錯誤の結果たどり着いたのでしょう。

※（補足）「xの係数の1/2の2乗を加えれば解ける」だけではないですよ。
x^2+(b/a)x+(c/a)=0
からやはり①を横目で見ながら (x^2+2Ax=(x+A)^2-A^2と考える)
x^2+(b/a)x+(b/(2a))^2-(b/(2a))^2+(c/a)=0
（+(b/(2a))^2-(b/(2a))^2のやりかた（足して引く）を「殴ってさする」などと言いましたね）
(x+b/(2a))^2-(b/(2a))^2+c/a=0
(x+b/(2a))^2=(b/(2a))^2-c/a
以下略

お礼

ハッ としました……
とても分かりやすい解説、ありがとうございました。

回答No.4

f272

> なぜ加えるのがxの係数の1/2の2乗なのか、というのが理解できないんです。

(x+A)^2=x^2+2Ax+A^2　...(式A)
というのはすでに理解しているはずです。この等式を左辺から右辺に変形する式とみるのではなく、右辺から左辺に変形する式と館得てください。そうするとx^2+2Ax+...という部分があれば、次にxの係数の1/2の2乗があればうまくいくことが分ります。

> 壮大な話をすると、なぜ先人はxの係数の1/2の2乗を加えれば解けると気づいたのか

上記の(式A)を知っていたからです。

回答No.3

head1192

これは、自分で会得するしかない。
単なる数式の変形に過ぎない。
その変形を自分の手で行い理解し自力でできるまで習得する。
そこまでやれば、意味はおのずと体得できる。

回答No.2

asuncion

2次方程式の解の公式からはいったん外れますけど…。
平方完成というテクニックの例です。
簡単のためにx^2の係数を1とします。
x^2 + ax + b ... (1)
という式を
(x + c)^2 + d ... (2)
という形に変形することを平方完成といいます。
(2)を展開すると
x^2 + 2cx + c^2 + d ... (3)
になることはわかりますか？
(1)と(3)において1次の項の係数を比較すると
a = 2c
になってます。これよりc = a/2
だから、(1)を平方完成する過程において1次の係数のaの半分である
a/2を意識する必要があります。
さて(1)にもどると、
x^2 + ax + b
を平方完成して、(2)の形にしたかったんですよね。
ここで登場するのがa/2です。
x^2 + ax + b
= (x + a/2)^2 + なんたら
という式を展開すると、間違いなく
x^2の項とaxの項は現われてますよね。だけど、よけいな
a^2/4っていう定数項が現われてますよね。これがジャマなんで
いったん引きます。
x^2 + ax + b
= (x + a/2)^2 - a^2/4
これで、x^2 + axまでのつじつまは合ってます。あとは+bを忘れずに、
x^2 + ax + b
= (x + a/2)^2 - a^2/4 + b
はい、これで完全につじつまが合い、平方完成ができました。
2次方程式の解の公式を導くときも、まずゼロでないaで割って
2次の係数を1にしてから平方完成、さらに式変形、という意味では、
上に書いたことと同じことをやってます。