打ち切り誤差の表現について

質問

数値解析での打ち切り誤差についてお尋ねします。

f(x)=e^x があります。これはテイラー展開で表現できます。（これはもういろんな本に書いてあります。）
これを第n項までで止めた式をfn(x)とします。そうすると、f(x)-fn(x)はいわゆる打ち切り誤差ですね。片方は無限大、片方はそれをn項までで止めているのだから、結局この場合打切り誤差はe^xのテイラー展開のn+1項以上の表現だということになります。
それが、( e^s・x^(n+1) )/(n+1)! ここで(0<s<x)　となるそうです。
この誘導ができません。x^(n+1)/(n+1)!　でくくって残りがe^sとなることを証明できればよいのですが。平均値の定理か何かを使うのかなと思うのですが。
よろしくお願いします。

回答No.1

looker1986 · ベストアンサー

中間値の定理を使えば証明できます。
f(x)-fn(x) を x^(n+1)/(n+1)! でくくった残りは (1+x/(n+2)+...) ですね。
つまり、
　e^s = (1+x/(n+2)+...)
となる s が 0<s<x の間に存在することを証明すればよいわけです。
n>0 なので、s=0 と s=x を代入すれば明らかに中間値の定理の条件を満たします。

お礼

回答、有難うございました。
中間値の定理と平均値の定理というのは同じ内容だったと記憶していますが、違ったかもしれませんが..。平均値が区間の中間に存在するという定理だと思います。

今一度、教えていただいた方法を検討してみます。有難うございました。

回答No.2

hugen

平均値の定理でもなく、テイラー展開でもなく
[テイラーの定理]
f(x) = fn(x)+f(n+1)(s)/(n+1)!x^(n+1)

お礼

回答、有難うございました。
私の質問の主旨はテイラーの定理（あるいはテイラー展開）のn次まで打ち切った後の残りの誤差がそのような表現になる理由です。
すなわちテイラーの定理が成り立つ理由の質問ということになります。