大学１年レベルの級数に関する問題です

質問

∞ 　　　　　　　　　　　　∞
f(x)＝Σ(a_n・x^n)に対して、Σa_n/(n+1)が収束すれば
　　 　n=1　　　　　　　　　 　　n=1
1 　　　　　 ∞
∫f(x)dx＝Σa_n/(n+1)　が成立することを示せ。　
0　　　　　n=1　　

という問題についてなのですが
私はこの問題を見たとき、次の定理　　　　　　　　　　　　　　　

閉区間A=[a,b]上の連続関数f_n:A→R(n=1,2,・・・)を一般項とする関数項級数Σf_n(x)がA上で一様収束していれば
a 　∞　　　　　　∞ 　b
∫ Σf_n(x)dx＝Σ ∫f_n(x)dx が成立する。
b n=1　　　　 　　n=1 a

という、項別積分の定理を使おうと思いました。

それで、f_n(x)=a_n・x^nとし、この問題において与えられたΣa_n/(n+1)が収束という条件から、Σf_n(x)が[0,1]上で一様収束することを導こうとしたのですが、うまくいきませんでした。

しかし、Σa_n/(n+1)が収束ではなく絶対収束だったら、Σf_n(x)が[0,1]上で一様収束することを導けました。

具体的には、

Σa_n/(n+1)が絶対収束より、Σ{a_n/(n+1)}x^nの収束半径Ｒは１＜Ｒを満たす。また、Σ{a_n/(n+1)}x^nとΣa_n・x^nの収束半径は等しい。
ここで
「整級数Σa_n・x^n＝Σf_n(x)の収束半径をＲとする。0<s<Rなる任意のsに対し、閉区間[-s,s]でこの関数級数は一様収束する」
という定理から、とくにs=1としてやれば、関数項級数Σf_nは[-1,1]で一様収束することが導ける。よって[0,1]でももちろん一様収束するから項別積分の定理が使える。

としました。

なのでもしかしたら”収束”という箇所がミスプリントなのでは？と思ったので質問させていただきました。

ですが、私が単に、収束という条件から答えを導き出せてない可能性のほうが高いと思うので。。。

どなたか回答よろしくお願いしますm(_ _)m
ぜんぜん解けなくてとても困ってます・・・。

回答No.4

arrysthmia · ベストアンサー

べき級数の収束に関するアーベルの定理を使うと良いです。
曰く：
g(x) = Σ(a_n) x^n の収束半径を R (0 < R < ∞) とする。
x = R でこのベキ級数が収束するならば、g(x) は x = R で連続である。
証明は、教科書で見て下さい。

これを g(x) = Σ{ (a_n)/(n+1) } x^(n+1) に適用すれば、
R = 1 のとき、lim[x→1] g(x) = Σ(a_n)/(n+1) が言えます。

Σ(a_n)/(n+1) の収束より、Σ(a_n) x^n の収束半径 R について
R ≧ 1 が言えますが、

R ＞ 1 であれば、Σ(a_n)/(n+1) は絶対収束で、
後は質問者さんの方針通り。

R ＝ 1 であれば、0 < s < 1 なる任意の s に対して、
Σ(a_n) x^n が |x| ≦ s で一様収束しますから、
f(x) = Σ(a_n) x^n　の両辺を 0 ≦ x ≦ s で積分するときに
右辺が部分積分できて、
その後、s→1 の極限をとるときに、アーベルの定理が使えます。

補足

回答ありがとうございます。なかなか解決しないでいるのでとても助かります！

すこし質問なのですが、

「Σ(a_n)/(n+1) の収束より、Σ(a_n) x^n の収束半径 R について
R ≧ 1 が言えます」

という部分は、絶対収束でなくて、収束のままでいいのでしょうか？

この箇所がミスプリかどうかということが知りたかったので、気になります。

あと、Ｒ≧１についてなのですが、＝がある理由がよくわかりません。
a_nが具体的でないことと、一般にx=Rでのべき級数の収束がわからないという２つのことから、Ｒ≠１とは言い切れないため、ということでしょうか？

申し訳ありませんが、回答よろしくお願いします。
なんとしてもこの問題を解ききりたので。。

回答No.5

arrysthmia

＞ という部分は、絶対収束でなくて、収束のままでいいのでしょうか？

いいのです。その為に、アーベルの定理を持ち出したんですよ。
Σ(a_n)/(n+1) が絶対収束なら、質問文にある貴方の方針通りで完了です。
ベキ級数 Σ{ (a_n)/(n+1) } x^(n+1) の収束半径が ＞ 1 になるから、
一様収束性から項別積分するだけ。何の工夫も要りません。

Σ(a_n)/(n+1) が条件収束だと、
ベキ級数 Σ{ (a_n)/(n+1) } x^(n+1) の収束半径 R は、R ≧ 1 です。
R ＞ 1 の場合には、上と全く同じで良いとして、
R ＝ 1 の場合には、何か対処が必要になります。それが、No.4 です。
Σ(a_n)/(n+1) が条件収束でも成立するように、証明してあります。

＞ Ｒ≧１についてなのですが、＝がある理由がよくわかりません。

それは、収束半径の概念そのものです。

ベキ級数 Σ{ (a_n)/(n+1) } x^(n+1) の収束半径が R であれば、
s ＞ R のとき Σ{ (a_n)/(n+1) } s^(n+1) は収束しません。
これの対偶より、Σ{ (a_n)/(n+1) } s^(n+1) が収束するならば、s ≦ R です。
s ＝ 1 を代入すれば、前述のようになります。

お礼

回答ありがとうございます。
これで疑問が解決しました！本当に助かりました！
今後の学習意欲向上につながりました。
ありがとうございます。

回答No.3

uzumakipan

こんにちは。私は質問者さんと同様な考えです。この問題にΣa_n/(n+1)が『絶対』収束するという条件が抜けていると推測します。

この問題の証明は質問者さんが説明されているように項別積分で示すのでしょう。そのためには、Σa_n/(n+1)が収束するならば、Σf_n(x)が[0,1]上で一様収束することを示さなければなりません。このとき、Σa_n/(n+1)の絶対収束の条件が必要となります。質問者さんの説明に納得します。

（これはマナー違反となるかもしれませんが）＃１さんの証明は最後の一行

＞T[n] - T[m] = { -(n+2)+(n+1)x }x^(n+1)/(1-x)^2 + { (m+2)-(m+1)x }x^(m+1)/(1-x)^2
→ 0 ( n ＞ m→∞ )

で不等式がｘに依存してしまっているため、一様収束性を示したことにはなっていません。（＃１さん、質問者でもないのに回答に横やりを入れてしまいゴメンナサイ。）

お礼

ですが、うまい反例がなかなか思いつかないんですよね・・。
なにかないでしょうか？

補足

回答ありがとうございます。
no.2での指摘のように、ｘ＝１のときは発散してしまいますよね？
やはりプリントミスなのでしょうかね・・・。

回答No.2

noname#87373

jaspachateさんの回答だと、x=1のとき
T[n] - T[m] = → 0 ( n ＞ m→∞ )
は言えないのではないですか？
これだと項別積分を[0,1]上で行えないのでは？

お礼

回答ありがとうございます。
確かにそうですね・・汗
私も途中まで気づきませんでした。
わざわざありがとうございます。

回答No.1

jaspachate

Σa[n]/(n+1) が収束することから、
| a[n]/(n+1) | < 1、 n≧N
となる N が存在する。
ゆえに、
|a[n]| < n+1
∴　| a[n]x^n | < (n+1)x^n、n≧N

今、
f(x) = Σf[n](x) 、 f[n] = a[n]x^n
と書くと、
Σf[n](x) が一様収束するための必要充分条件は、部分和 S[n]を
S[n] = Σ[1～n]f[k](x)
として、任意のεに対して
| S[n] - S[m] | < ε、　n > m ≧ N
となる N が x と無関係に定まることである。
つまり、
| S[n > m] - S[m] | → 0 (m→∞)

さて、
T[n] = Σ[1～n](k+1)x^k
と書くと、
| Σ[m+1～n]a[k]x^k | ≦ Σ[m+1～n] | a[k]x^k | < Σ[m+1～n](k+1)x^k
であるから、
| S[n] - S[m] | < T[n] - T[m]
ここで、
T[n] = (2x-x^2-(n+2)x^(n+1)+(n+1)x^(n+2)) / (1-x)^2
であるから、
T[n] - T[m] = { -(n+2)+(n+1)x }x^(n+1)/(1-x)^2 + { (m+2)-(m+1)x }x^(m+1)/(1-x)^2
→ 0 ( n ＞ m→∞ )

従って | S[n] - S[m] | → 0 (m→∞) だから Σf[n](x) は一様収束する。

で、いかがでしょうか。

お礼

すいません。この一様収束は[0,1]上での話のみに限定しているのですよね？それなら[0,1]内の任意のｘに関して、T[n] - T[m] は０に収束することは導けたのですが・・。

補足

丁寧な回答本当にありがとうございます！

T[n] - T[m] = { -(n+2)+(n+1)x }x^(n+1)/(1-x)^2 + { (m+2)-(m+1)x }x^(m+1)/(1-x)^2
→ 0 ( n ＞ m→∞ )

がよくわかりませんでした。右辺からどのようにすれば０に収束することがいえるのでしょうか？

申し訳ありませんが、教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。