ニュートン法よりも高次収束の漸化式を求める方法は？

2002/12/21 04:07

このQ&Aのポイント

ニュートン法とはf(x)をテイラー展開した中の初めの2項を用いることで2次に収束する漸化式を求める方法です。
ベイリー法ではテイラー展開の第三項までとニュートン法の漸化式を用いて3次に収束する漸化式を得ることができます。
Aの逆数を求めるための漸化式は2次まではf(x)=1-1/(1-Ax)を用いることで求めることができますが、3次以降の導き方はわかっていません。

nitscape
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数学・算数
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hogehogeninja
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2002/12/23 10:57 回答No.1

「f(x)=Aの解を求めよ」という問題で、解はXでf(X)=Aだとします。 (1).f(x)=1/x Xの近傍のあるXnで展開すると f(Xn+dx) = 1/Xn - (1/Xn^2)dx + (1/Xn^3)dx^2 - (1/Xn^4)dx^3 ... もとめるのはf(Xn+dx)=Aとなるdxです(Xn+1 = xn + dx)（dxは有限）。 (1-A*Xn) - (1/Xn)dx + (1/Xn^2)dx^2 - (1/Xn^3)dx^3 ... = 0 をdxについて解くことになります。後ろの　... の部分は欲しい次数まで続いてるものとして。とりあえず今は３次までとっているものとしてこの部分は０とします。一般に高次の方程式なので一筋縄でいかなそうですが、ここで一工夫。 A≒Xnならば、1-A*Xn、dxは微小です。1-A*Xn=h、dx/Xn=Yとして見やすくすると、 h - Y + Y^2 - Y^3 ... = 0 A≒Xnでdxは小さいと信じ込めば、 h～Y で、上式は Y = h + Y^2 - Y^3 ... とYについて解け、後ろの項を補正項のようにみたてます。この式を再帰的に自身のYに代入し、 Y = h + (h + Y^2 - Y^3 ...)^2 - Y^3 ... 必要な次数までだけを取り出すと Y = h + h^2 + h^3 ... が得られます。（３次の項の係数が変わっていますので注意。単にYをｈに置き換えたのにたまたま似てますが、ちゃんと計算しないとだめです）どの道近似なので、上式の解もついでに近似で求めたわけです。これを解くと高次まで一般に Xn+1 = Xn * (1 + hn + hn^2 + hn^3 + hn^4 + hn^5 + ...) (2).一般のf(x) f(Xn + dx) = fn + a*dx + b*dx^2 + c*dx^3 ... f(Xn + dx) = A と方程式を立てると dx + b'*dx^2 + c'*dx^3 ... = (A-fn)/a =: h dx = h - b'*dx^2 - c'*dx^3 ... 再びh～dx、dx≪1という信念を打ち立てれば、順に dx = h - b'*(h - b'*dx^2 - c'*dx^3)^2 - c'*dx^3 ... と同じ方法がとれそうです。 -------------------------------------------------------------- 厳密な表現は苦手分野なのでご容赦を＾＾；

質問者