剰余の定理

質問

剰余の定理を使ってf(x)を(x-a)^nで割った余りが
f(a)+f'(a)(x-a)+f"(a)(x-a)^2/2+……+f^n(a)(x-a)^n/n!
が導けます。
ｎを大きくするとf(x)とこの余りが等しくなるのでしょうか
また、これとテイラー展開と関係があるのでしょうか

回答No.1

waseda2003 · ベストアンサー

剰余の定理は多項式に対する定理ですから，
f(x)は多項式と仮定しているのですよね？
一般に，多項式は「次数＋１回微分すると０」になり
ますので，当然ｎが十分大きくなると（途中からは０と
なって）一致します。というより，

f(a)+f '(a)(x-a)+f ''(a)(x-a)^2/2+……+f^n(a)(x-a)^n/n！

は（多項式の場合）f(x) = f(x-a+a)として整理したもの
にすぎません。

テイラー展開は（ラグランジュの）平均値の定理を高次
微分に拡張したもので，平均値の定理は因数定理を
一般の関数に拡張したものだとみなせます。
つまり，テイラー展開の目指すところは，一般の（高階
微分可能な）関数に対して，多項式に近似させよう
というものです。
当然，この話題はテーラー展開と密接な関係にある
わけです。

ちなみに，無限回微分可能でもテーラー展開が元の
関数と一致しない場合もある（例えば，x≦0のときf(x)=0，
x>0のときf(x)=e^(-1/x)のx=0での展開など）ので，
誤解がないように注意してください。上で「一致する」と述
べているのは，あくまでも多項式に限定しているからです。