打ち切り誤差の求め方

質問

打ち切り誤差(truncation error)の求め方で混乱しているので質問させてください。
Show that the quantity (f(x+h)－2f(x)+f(x－h))/(h^2) approximates f′′(x) as h → 0.
Determine an expression for the truncation error.
What is the order of the formula?

という問題なのですが、テイラー展開を使う事はわかったのですがどうやってテイラー展開を当てはめれば良いのでしょうか？

回答No.2

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

間違っていたらごめんなさい。

>テイラー展開を使う事はわかったのですがどうやってテイラー展開を当てはめれば良いのでしょうか？

テイラーの定理では？

f(x+h)=f(x)+f'(x)h+f"(x)/2*h^2+f"'(a)/6*h^3
f(x－h)=f(x)-f'(x)h+f"(x)/2*h^2-f"'(b)/6*h^3

2式を足して整理すると
(f(x+h)－2f(x)+f(x－h))/(h^2)=f"(x)+(f"'(a)-f"'(b))*h/3

h→0なら右辺第２項が0となるのでf"(x)に近似できる。

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

間違っていたらごめんなさい。

>テイラー展開を使う事はわかったのですがどうやってテイラー展開を当てはめれば良いのでしょうか？

テイラーの定理では？

f(x+h)=f(x)+f'(x)h+f"(x)/2*h^2+f"'(a)/6*h^3
f(x－h)=f(x)-f'(x)h+f"(x)/2*h^2-f"'(b)/6*h^3

2式を足して整理すると
(f(x+h)－2f(x)+f(x－h))/(h^2)=f"(x)+(f"'(a)-f"'(b))*h/3

h→0なら右辺第２項が0となるのでf"(x)に近似できる。