テイラー展開について教えてください。

質問

テイラー展開に関する問題です テイ ラー展開に関する問題です。

(1)以下の関数のx=0を中心としたテイ ラー展開をし、一般項を書け。 (i)cosx (ii)1/(1-x) (2)x=0を中心とした1/(2-x^2)のテイラ ー展開をし、一般項を書け。
(3)x=0を中心とした(cosx)/(2-x^2)のテ イラー展開をx^6の項まで求めよ。 (4)lim[x→0](1/x^4){(cosx/(2-x^2))-(1/2)}を求めよ。

以上です。

自分でも求めたのですが、あってい るかが分かりません。 確認お願いします。

(1)(i)cox=Σ[n=0→∞]((-1)^n)(x^(2n))/(2 n)! (ii)Σ[n=0→∞]x^n

(2)1/(2-x^2)のテイラー展開は自信が ないのですが、これをテイラー展開 の式に代入して求めていくとすごく 時間がかかるので、 1/(2-x^2)=(1/2){1/(1-(x^2/2))}と変形し 、(1)の(ii)と同じようにして、Σ[n=0→ ∞](1/2)(x^2/2)^nとなりました。 果たして、これでいいのでしょうか ？

(3)たぶんこれは(1)と(2)の結果を使え ということだと思うのですが、これ は(cosx)と1/(2-x^2)のそれぞれの項を かければいいだけですか？ たとえば、１項は、cosxの1項目の1 と、1/(2-x^2)の１項目の1/2をかけて 、1/2となるのでしょうか？

(4)これはちょっと分からないです。1 /x^4がかかっているので、テイラー 展開したものでも分母にxの項が入っ てしまい、発散しそな気がしたので すが、そんなはずはないので、よくわからないです

回答よろしくお願いします。

回答No.3

Tacosan · ベストアンサー

方針はあってるがおしい. x^6 の係数を間違えてる (とはいえ x^4 まではあっているので (4) には影響しないという...).

1/2 を忘れた?

補足

何度もすいません。
再度計算しました。

1/2+x^4/48+(7/720)x^6

となりました。

それで、

lim[x→0](1/x^4){(cosx/(2-x^2))-(1/2)}

=lim[x→0](1/x^4){x^4/48+(7/720)x^6}

=lim[x→0](1/48+(7/720)x^2)

=1/48

となりました。

回答No.2

alice_44

(1) (2) (3) は、それで ok です。
(3) の続きも、(1)(i) と (2) の結果を掛け合わせて展開すればいい。
f(x) = Σ[n=0→∞] a(n) x^n と g(x) = Σ[n=0→∞] b(n) x^n の積が
f(x)g(x) = Σ[n=0→∞] {Σ[k=0→n] a(k)b(n-k)} x^n であることに注意して、
後の係数も計算しましょう。

(4) は、lim[x→0](1/x^4){(cosx/(2-x^2))-(1/2)} の中の cosx/(2-x^2) を
テイラー展開で置き換えてしまえば、分数式の極限を求める問題になります。
(3) の結果を使って、cosx/(2-x^2) = (具体的な４次式) + R(x) ただし
lim[x→0] R(x)/x^4 = 0 と書けることに注目しましょう。

回答No.1

Tacosan

(1) は OK. (2) も OK だけどなんとなくべき級数の (つまり Σanx^n みたいな) 形にしたい気がする.

(3) は「多項式」と思って計算すればいい.

(4) は (3) の結果を見ればわかるんじゃないかな. たぶん発散しないはず.

補足

(3)の問題なのですが、普通に多項式の計算と同じで、かけ算していったら、
1/2+x^4/48+(1/96-1/720)x^6という答えになってしまいました。
間違っていると思うのですがやり方を教えていただけないでしょうか。
例えば、(1+2x+3x^2)(1+2x+3x^2)でしら、1+2x+3x+2x+4x^2+6x^3+3x^2+6x^3+9x^4という感じて単純に計算していきました。こういうやり方の計算であっているのでしょうか？
計算ミスは単純な計算だと思うのでしていないと思うのですが。