マクローリン展開について

質問

マクローリン展開について

以前あるサイトで質問したのですが、その回答がよくわからなかったのでこちらで質問します。

1/1-x についての級数展開の質問になります。

1/1-xをマクローリン展開すると、1+x+x^2+x^3+x^n+・・・・とないっていきますが、この時の収束がわかりません。

以前質問したときにこんな回答がありました。

f^(n)(x)=n!/(1-x)^n, f^(n)(0)=n!

Sm(x)=Σ[n=0,m-1]f^(n)(0)x^n/n!=Σ[n=0,m-1]x^n (級数Σ[n=0,∞]x^nのm部分和)
f(x)にマクローリンの定理を適用したときの剰余項をRm(x)とすると
f(x)=Sm(x)+Rm(x)
と表わせる。

|Rm(x)|=|Sm(x)-f(x)|
=|Σ[n=0,m-1]f^(n)(0)x^n/n! -1/(1-x)|
=|Σ[n=0,m-1] x^n - 1/(1-x)|
=|(1-x^m) / (1-x) - 1/(1-x)|
=|x^m/(1-x)|…☆

しかし、f^(n)(x)=n!/(1-x)^n, f^(n)(0)=n!というのが分かりません。

どこからこのような式はでてくるのでしょうか？

また、剰余項というのは、級数は無限には実際計算できないわけで、例えばn=５とかで計算を終わらせる必要がありますが、
その時n=6以降の項は切り捨てることになります。

その切り捨てた項が剰余項となるのでしょうか？
余った項とかくので。

収束条件と剰余項がどういう関係があるのかはいまいちわかりませんが。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

f(x)=1/(1-x)=(1-x)^{-1}
としたとき
f(x)のn回微分f^(n)(x)はn!/(1-x)^nではない。

f^(n)(x)=n!/(1-x)^{n+1}……P(n)
となる
P(n)を自然数n≧0に関する帰納法で示す
f(x)=1/(1-x)=0!/(1-x)^{0+1}
だからP(0)が成り立つ
ある自然数k≧0に対してP(k)が成り立つと仮定すると
f^(k)(x)=k!/(1-x)^{k+1}=k!(1-x)^{-k-1}
f^(k+1)(x)=(k+1)k!(1-x)^{-k-2}=(k+1)!/(1-x)^{k+2}
P(k+1)が成り立つから
すべての自然数n≧0に対してP(n)が成り立つ

P(n)でx=0とすると
f^(n)(0)=n!
となる

回答No.2

alice_44

話の順番が逆のような…
有限等比数列の和 1 + x + x^2 + … + x^n = { 1 - x^(n+1) } / (1-x) から
等比級数の和 1 + x + x^2 + … = 1 / (1-x) が判り、
テイラー展開を定義として、高階微分係数 f(x) = Σ[k→∞] (a_k)(x-c)^k
⇒ f^(n)(c) = (a_n)(n !) が定義される。

1 + x + x^2 + … = 1 / (1-x) の収束性については、
コーシーまたはダランベールの判定法に従うのがよい。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%8F%8E%E6%9D%9F%E5%88%A4%E5%AE%9A%E6%B3%95
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%80%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%8F%8E%E6%9D%9F%E5%88%A4%E5%AE%9A%E6%B3%95

収束条件は、剰余項が定数関数 0 に収束するための条件のことです。