高１数学 ２次関数

質問

２次関数f(x)=-x^2+4x+a^2-3a(aは定数)は-1≦x≦4で最大値2をとるとき、aの値はa=1,2であり、最小値は-7である。このときy=f(x)のグラフがx軸から切り取る線分の長さは＿である。

という問題が解けなくて悩んでいます。
どなたか回答をお願いします。

回答No.1

nettiw · ベストアンサー

>> f(x)=-(x^2)+4x+[(a^2)-3a]
>>　　　=-[(x-2)^2]+[(a^2)-3a+4]と変形し、
>>　x=２で最大値２となるので、
>>　f(2)=[(a^2)-3a+4]=(a^2)-3a+4=2
>>　(a^2)-3a+2=0,,,(a-2)(a-1)=0,,,a=1,2 となり、
>>　f(x)=-[(x-2)^2]+2=-(x^2)+4x-2 、
>>　さらに、x=－１で最小値をとり、その値は、f(-1)=-7　。
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f(x)=-(x^2)+4x-2とx軸の交点のx座標を求める式は、
-(x^2)+4x-2=0,,,(x^2)-4x+2=0
大解は、β=[2+√2]
小解は、α=[2-√2]
f(x)がx軸から切り取る線分の長さは、β－αと表され、
β-α=[2+√2]-[2-√2]=2√2 。