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２次関数の問題が苦手でaの値の意味が分かりません。
式やどうしてaが０より大きいとか小さいとか考えないといけないのか、も含めて教えてほしいです。 １）関数f(x)=ax^(2)-2ax+b(0≦x≦3)の最大値が９、最小値が１であるとき、定数a,bの値を求めよ。 ２）x+2y=6,x>1,y≧0のとき、z=xyの最大値、最小値を求めよ ３）関数f(x)=x^(2)-2ax+a^(2)+2a+1(0≦x≦1)の最小値が０であるとき、定数aの値を求めよ。 何故、a>0やa<0などが必要なんでしょうか？ その理由とaの範囲が狭まったり、軸と同じにされるのはなんでなんでしょうか？ おねがいします。
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- KEIS050162
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この様なケースで、未知数ａの条件を分けて考える必要が出てくるのは、そうしないと答えが出ないからです。逆に言えば、答えを出そうとすると、ある条件にａを定めないと計算できないので、やむなく、ａの条件を決める必要が出てくるということですね。 １）の例で具体的に答えを求めようとすると… 二次関数の最大・最小を求める時に、必要なのは頂点の位置と、その頂点が最大なのか最小なのかの情報が必要となります。 例題の様な場合、ｘ＾２の係数が ”ａ”となっていて、グラフが下に凸なのか上に凸なのかが分からず、お手上げになってしまします。 なので、 ”仮に ａが 正だったとしたら…” 答えは出るか？ という考え方をしていく必要があるということですね。 では、”もし、ａが負だったら…”も併せて考えていくということですね。 例題の場合、 ａ＜０ の時と、 ０≦ａ （即ち、グラフが上に凸の時と、下に凸の時）で分けて考えると、それぞれ答えが（簡単に）出せます。 ３）の例では、ｘ＾２の係数は正なので、下に凸ということは分かります。また、範囲も固定です。 あとは範囲内で、頂点と範囲の境目で最大最小を出せばよいのですが、頂点が範囲の中なのか、外側（左か、右か）で、最大・最小値が変わってしまうので、このままでは答えが出ない、ということになります。 そこで、”仮に頂点が範囲の中にあったら…” 答えは出るか？ という考え方をしていくということですね。 併せて、”もし、頂点が範囲の左外側だったら…”、”右外側だったら…”、という具合に、頂点の位置を答えを出せる条件で固定して、考えていくということです。 この例題ではないですが、二次関数の頂点が分かっていて（固定で）、範囲が可変（ ａ≦ ｘ ≦ ａ＋１ など）でも考え方は同じです。 ２）は、１）３）とちょっと異なりますが、 ｘ、ｙの一次関数のグラフと、それぞれ与えられている条件から、それぞれが取りうる範囲が決まります。 グラフを書いて見れば、一目瞭然です。 あとは、この一時式から、 ｙ＝… の形に変形して、ｚ＝ｘｙ のｙに代入すると、ｚはｘの二次式で表せます。 ｘの範囲は、先のグラフで決まりますので、この範囲内でのｚ＝ｘの二次関数の最大最小を求めればよいです。これはａ，ｂなどの未知数はないので、条件分けは必要ないですね。 ご参考に。
- coffeedog
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(1)の問題では f(x)=ax^(2)-2ax+b は f(x)=ax^(2)-2ax+b ＝ａ（ｘ-1）＾（２）＋ｂ－ａ という式になりますね。 これは、グラフで表すと 座標（1、b-a）を放物線の頂点とするグラフになります。 ただしａの値によってグラフは全く違ったものになるのです。 ａが負、つまりａ＜0のときは山がた、（放物線）になります。 ａが正、つｍりａ＞０のときは谷がた、逆の放物線になります。 頂点が決まっていても全く違った形のグラフになることがわかると思います。 それぞれ(0≦x≦3)の範囲で最大値最小値を2つのグラフから読み取ってみてください。 山がた（ａ＜0）のときは ｘ＝1のところが最大値で Ｘ＝３のところが最小値 谷がた（ａ＞０）のときは ｘ＝1のところが最小値で ｘ＝3のところが最大値 となっています。 （ａ＜0）のとき 最大値はf(1)＝9 最小値ｆ（3）＝1 連立方程式を解けばａとｂの値がわかります。 （ａ＞0）のときも同様に 最大値はf(3)＝9 最小値ｆ（1）＝1 そしてａ＝０のときはｙ＝ｂというｘ軸に平行な直線になってしまいますので、最大値最小値の条件を満たす答えは『なし』となってしまいます。 （3）ではf(x)=x^(2)-2ax+a^(2)+2a+1 の式を ＝（ｘ－ａ）＾（2）＋２ａ＋1 とすると （ａ，2a+1）を放物線の頂点とするグラフであることがわかります。 またｘの自乗にマイナスの数字がかかっていないので、谷型のグラフであることもわかります。 このグラフの最小値が(0≦x≦1)の範囲において0になるためには、 この谷型のグラフがどの位置にあればよいのか、考えてみてください。 谷型ですから、頂点の座標が(0≦x≦1)の範囲にあるとき、頂点の座標は（ａ，2a+1）ですから （0≦ａ≦1）のとき 2a+1＝０ でないといけませんね。 解いてa=-1/2 a<0のときは (0≦x≦1)の範囲では最小値がｘ＝0のときになりますので ｆ（0）＝０ でないといけませんね。解いてａ＝－１ 1<aのときは (0≦x≦1)の範囲では最小値がｘ＝1のときになりますので ｆ（1）＝０ でないといけませんね。しかし、虚数解が出てしまいますので成り立ちません。 a=-1/2 と ａ＝－１ の2つが答えになります。 あってます？
(1) 図を描けないので説明しにくいのですが y=ax+b の一次関数だと 0≦x≦3の範囲だとaが正か負かで直線の傾き が違ってきて、 (1) 0 < a のとき、x=0で最小 x=3 で最大 (2) a < 0 のとき、x=0で最大 x=0 で最小になります。 図を描いてみてください。 a によって最大、最小になるxの値が違ってくるのです。 この問題では a は意外と大きな意味を持ってくるのです。 (3) この問題ではたまたま xの係数が 2a なのでグラフにすると 軸はx にくるのです。 式からグラフの形を求める方法を教科書などで確認してください。
