引き続き高1の二次関数の問題なのですが・・・

質問

『関数y=x^2-2ax-a(0≦x≦2)の最小値が-2であるように，定数aの値を求めよ。』
という問題、『軸x=aの位置で場合分け』をして解こうとがんばっているのですが、うまくいかないんです。
もうほんと数学がさっぱりの状態に陥ってるんですが、考え方のほうを教えて下さい。

回答No.2

lailai2580 · ベストアンサー

y=x^2-2ax-aは下に凸のグラフになります。
この式を平方完成すると
y=(x-a)^2-a^2-aとなり、頂点が(a,-a^2-a)となることがわかります。
ここまでは前回と一緒です。
次に場合分けなんですが、3つの場合に分けられます。
まず問題文より定義域が0≦x≦2ですから、
(1)頂点のx座標(この場合はaの値)が0よりも小さい(a<0)
(2)0≦a≦2である
(3)2<aである
と分けられます。

(1)の場合、頂点から最も近いx=0のところで最小値をとります。よって、与式にx=0,y=-2を代入して計算しますとaが求まります。

(2)の場合、この2次関数が下に凸であるので頂点で最小値をとります。よって、-a^2-a=-2という式を立てて、この2次方程式を解く。

(3)の場合、頂点から最も近いx=2のところで最小値をとるので、与式にx=2,y=-2を代入して求めます。

そこから後が問題なんですが、(1)の場合において計算してみましょう。
与式にx=0,y=-2を代入して計算しますと、a=2となると思います。しかし、(1)ではa<0として仮定している為、正しい答えではありません。
同様に(2)について計算すると、a=-2,1のように二つの解が求まりますが、0≦a≦2として仮定している為、正しい答えはa=1であるとわかります。
最後に(3)について計算するとa=6/5となります。これは2<aに反している為正しくありません。
以上のことから答えは1つであると判断できますね。
こんな感じで考えるいいと思います。

お礼

続けての回答ありがとうございます。ほんと、わかりやすいです。教えて頂いたおかげで終えることが出来ました！！

回答No.1

springside

まず、f(x)=x^2-2ax-aと置いておきます。

この放物線の軸は、x=aですよね。
そして、xの範囲は0≦x≦2ですね。

ということは（グラフで考えてください）、

(1)軸がxの範囲の左側にあるとき。つまり、a<0のときは、最小値は、f(0)ですね。f(0)=-2になるようにaを決めればいいです。（もちろん、a<0の条件のもとで）

(2)軸がxの範囲の中にあるとき。つまり、0≦a≦2のときは、最小値は、f(a)ですね。f(a)=-2になるようにaを決めればいいです。（もちろん、0≦a≦2の条件のもとで）

(2)軸がxの範囲の右側にあるとき。つまり、2<aのときは、最小値は、f(2)ですね。f(2)=-2になるようにaを決めればいいです。（もちろん、2<aの条件のもとで）

お礼

詳しいご回答ありがとうございます。納得することが出来ました。