２次関数

質問

(1)2次関数y=x^2-2ax+(a+1)^2のグラフがx軸から切り取る線分の長さが2になるときのaの値を求めよ。
(2)グラフの頂点の座標が(2,-9)で、グラフがx軸から切り取る線分の長さが6である2次関数を求めよ。

という問題で、答えはそれぞれ
(1)a=-1
(2)y=x^2-4x-5
になります。

(1)はy=0とおいて解の公式を使うのは分かりますが、かんじんの答えまでたどり着くことが出来ません。

どうぞよろしくお願いします。

回答No.3

debut · ベストアンサー

(1)
解の公式から
ｘ＝{2a±√(4a^2-4(a+1)^2)}/2
=a±√(-2a-1)
２解の差の２乗は長さの２乗なので
(a+√(-2a-1)-a+√(-2a-1))^2=2^2

(2)
頂点が(2,-9)で、ｘ軸から切り取る長さが６ならば
グラフの対称性から、頂点のｘ座標２と　切り取る長さ６の半分の
３を引いたり足したりして、２点（-1,0),(5,0)を通ることは
明らかです。
よって、求める放物線は
y=a(x+1)(x-5)とおけて、(2,-9)を代入して・・

お礼

すごく分かりやすい回答ありがとうございます♪
おかげで理解することが出来ましたッ！！

回答No.2

proto

グラフがx軸から切り取る線分の長さとは、つまりy=0とおいたときの二つの解の差のことですね。

いまy=ax^2+bx+cについて解の公式を思い出してみましょう。
判別式をD=b^2+4acと書くと、
　　x = (-b±√D)/(2a)
大きい方をα,小さい方をβとおくと
　　α = (-b+√D)/(2a)
　　β = (-b-√D)/(2a)
二つの解の差は
　　α-β = (-b+√D)/(2a)-(-b-√D)/(2a) = (2√D)/(2a) = (√D)/a

つまりy=ax^2+bx+cのグラフがx軸から切り取る線分の長さは
　　(√D)/a
これを使ってy=x^2-2ax+(a+1)^2のグラフがx軸から切り取る線分の長さを文字式で表して、(√D)/a=2と方程式を立てて解けばいい。

(2)については、頂点の座標が(2,-9)の二次関数は
　　y=a(x-2)^2-9
とおける、
あとは式を展開して、(1)と同じようにグラフがx軸から切り取る線分の長さを文字式で表し、＝6と方程式を立てて解けばいい。

お礼

なるほどっ！よく分かりました♪
回答ありがとうございます^^)/

回答No.1

noname#69788

（１）　y=x^2-2ax+(a+1)^2
=(x-a)^2-a^2+a^2+2a+1
=(x-a)^2+2a+1

y=0,x=±2を代入して実数解をもつほうです。

お礼

ありがとうございます！
よく分かりました♪