高1数学教えてください

質問

高1息子の数学でわからないところがあり困っています。似た問題がないかといろいろ調べてみましたがいまいちピンときません。どなたか教えてください。よろしくお願い致します。

問題「2次関数　Y=Xの2乗＋（a－1）X＋1　のグラフが、X軸の0＜X＜2の部分と異なる2点で交わるとき、定数aの値の範囲を求めよ」

回答No.5

hinebot · ベストアンサー

＃３です。

2次方程式
ax^2+bx+c =0 (a≠0) 　---(#)
において、
D= b^2-4ac を判別式と呼びます。

(i) D>0 のとき、(#)の方程式は異なる２つの実数解を持ちます。
このとき2次関数 y=ax^2+bx+c は、ｘ軸と異なる2点で交わります。

(ii)D=0 のとき、(#)の方程式は１つの実数解を持ちます。（重解となります）
このとき2次関数 y=ax^2+bx+c は、ｘ軸と（1点で）接します。

(i) D<0 のとき、(#)の方程式は異なる２つの虚数解を持ちます。（もし、虚数について習っていないなら、(#)の方程式は解を持たない、と思ってください。）
このとき2次関数 y=ax^2+bx+c は、ｘ軸と共有点を持ちません。
a>0 （下に凸の場合）なら、放物線がｘ軸の上に浮かんでいるイメージですね。

2次方程式と２次関数には上記のような関係があります。
a>0 のとき、D>0 と、頂点のy座標<0 というのは同値な条件です。（グラフを書けば一目瞭然ですが）
グラフは頂点の左側は単調減少（右下がり）で、右側で単調増加（右上がり）ですから、頂点のｙ座標が負であれば必ずどこか２点（頂点の左側と右側で１点ずつ）でｘ軸と交わるからです。

さて、#2さんが
> これらの式を解くと
> a>-3/2
> a<-1 , 3<a
> となり、これから、答えは
> -3/2<a<-1　です
とされてますが、
a>-3/2 ---(1) と
a<-1 , 3<a ---(2)
を同時に満たすaの範囲は、-3/2<a<-1 のほか、3<a もありますよね。
なので、#2の方の回答では不十分です。
これは「頂点のx座標が0<x<2の範囲である」という条件がもれているからです。

最後に１点訂正。
>（これを考えないと、x<0またはx>2の部分で異なる２点で交わる場合が含まれてしまいます）

この部分ですが、正確には
「これを考えないと、異なる２点のうち１点がx<0またはx≧2の部分で交わる場合が含まれてしまいます」
でした。

お礼

何だか少しわかったように思います。

たぶん未消化だとは思いますが・・・

hinebotさんはじめ、みなさんホントに親切なんですねえ！ありがとうございます！！！

回答No.7

KENZOU

解き方は既にいろいろな方が書かれていますので、蛇足ながら判別式のことについて少し書いておきます。
既に＃4の-ria-さんが
＞この判別式の左辺は、二次方程式の解の公式のルートの中身と同じなので覚えやすい…かも？
と書かれていますが、この点を具体的に書くと、、、
2次方程式
　ax^2＋bx＋c＝０　　(1)
の根(解)は次の公式（いわゆる根の公式）から求まります。
　2根＝{－b±√(b^2－4ac)}/2a＝(－b±√Ｄ)/2a　(2)
ここで
　Ｄ＝b^2－4ac　　(3)
とおきましたが、このＤを判別式と呼んでいます。その意味は値Ｄの正・負・０によって根の特長（？）が分かるからなのですね。つまり、
(A)Ｄ＞０の場合
(1)は2実根(－b＋√Ｄ)/2a、(－b－√Ｄ)/2aをもちます。
(B)Ｄ＝０の場合
(1)は重根－b/2aをもちます。
(C)Ｄ＜０の場合
この場合は√の中が負になるので虚数となりますね。Ｄ＝－P（P＞０）と置き換えてやると、解は2虚根(－b＋i√P)/2a、(－b－i√P)/2aを持つことになります。この虚根は実在しない解ですから、(1)をグラフに書くとx軸と交わらないグラフとなりますね。

お礼

ありがとうございます。教科書など読んで判別式って何だか回りくどいなあ・・・中学まで戻らないといかんのかなあ～！！って思っていたんです（悲）。つまりは「どんな感じのグラフ」っていうのでいいんですかなあ？乱暴すぎますか？？

回答No.6

hinebot

#5(#3)です。
何度も済みません。#5で一番最後の訂正は不要です。（勘違いしてました。）#3の回答のままでＯＫです。

ついでに#1の方のアドバイスも#2の方と同様に、「頂点のx座標が0<x<2の範囲である」条件が抜けてます。

回答No.4

-ria-

No.２の者です

＞判別式
あれ？私は高１の授業で習ったのですが…教科書によって違うのかもしれないですね

ax^2+bx+c=0のときの解が
異なる２つの実数のとき　b^2-4ac>0
１つの実数のとき　b^2-4ac=0
実数解なしのとき　b^2-4ac<0
というもので、この「解の数」というのがグラフでいうところのｘ軸との交点の数になります

ちなみにこの判別式の左辺は、二次方程式の解の公式のルートの中身と同じなので覚えやすい…かも？

判別式を学校で習っていないようなら、
No.2の（３）を、頂点のｙ座標がｘ軸（ｙ＝０）より下にあるというのでも解けますのでそちらを。
ここでは、頂点の座標はもとの式を変形してもとまります（多分この方法は習っていると思うので省略します）
すると頂点は（ (a-1)/2 , 1-{(a-1)^2}/4 ）です。
この 1-{(a-1)^2}/4 がｘ軸より下になる（＋(1)(2)の条件も）とｘ軸との交点が２つあるということになります
（どうして文にするとこんなにわかりにくいのかと思いますが...グラフを書いてなんとか）
で、その式
1-{(a-1)^2}/4<0（y=1-{(a-1)^2}/4 は y=0 より下にあるという意味）

わかりにくい解説で申し訳ないですが…。
がんばってください

お礼

判別式はちゃんと教科書にありますし、授業も受けています。でもよくわからないという事でした。私もよくわからないですね。わかったような気はするのですが・・・何度も考えてみます。ありがとうございました。

回答No.3

hinebot

ｘの２乗は、x^2 と書きます。
----------------------------------
まず、抑えておきたいのは
・y=x^2+(a-1)x+1 のグラフは、下に凸な放物線（Ｕみたいな形）
（∵x^2の係数が正）
ということです。

平方完成する (y=(x-p)^2+q の形に変形する）と
y=x^2+(a-1)x+1 ={x+(a-1)/2}^2 -(a-1)^2/4 +1
となり、グラフの頂点は
ｘ座標が -(a-1)/2, y座標が-(a-1)^2/4 +1
となります。

「X軸の0＜X＜2の部分と異なる2点で交わる」ので、少なくとも頂点のｙ座標は負である必要があります。（分からなければグラフを書いてみてください）
よって
-(a-1)^2/4 + 1 < 0
(a-1)^2 - 4 > 0 （両辺に－４を掛けました）
これを解いて、
a^2-2a+1-4 = a^2-2a-3=(a+1)(a-3) >0 より
a < -1　または 3<a　　　---(1)
これが１つの条件で、ｘ軸と異なる２点で交わる条件です。

次に、「0<x<2 の範囲で」という条件を考えます。
これをグラフを書けば分かると思いますが、範囲の両端であるx=0 と x=2 のときに y>0 であればよいわけです。
x=0 のとき　y=0^2+(a-1)*0+1 =1 で、aに関係なくy>0です。
x=2 のとき　y=2^2+(a-1)*2+1 = 2a+3 >0 より
a > -3/2 ---(2)

最後にもう一つ、頂点のx座標が0<x<2の範囲である必要があります。（これを考えないと、x<0またはx>2の部分で異なる２点で交わる場合が含まれてしまいます）
0 < -(a-1)/2 < 2
⇔ 0 < -a+1 < 4　より -3< a < 1 ---(3)

(1)から(3)の条件をすべて満たす必要があるので
求める範囲は
-3/2 < a < -1
となります。　（これは数直線を書いてみると良いでしょう。）

お礼

ありがとうございます。読んだだけではさっぱりですね～（すみません回転悪くて）・・プリントしてグラフ書いてよくよく考えてみます！

回答No.2

-ria-

y=f(x)として
f(0)=1>0　…　（１）
f(2)=4+2a-2+1=2a+3>0　…（２）
D=(a-1)^2-4=a^2-2a-3=(a-3)(a+1)>0　…（３）
これらの式を解くと
a>-3/2
a<-1 , 3<a
となり、これから、答えは
-3/2<a<-1　です

（１）（２）はグラフを書くとわかりやすいですが、Ｘが０、２のときそれぞれＹは０より大きい座標を持つということ
（３）はグラフが異なる２つの解をもつということを調べるための判別式をつかっています。

こういう問題は、問題文からわかることをとりあえず式であらわしてみるといつのまにか解けていたということが多いです（私はそうでした）
ちなみに、式の記号ですが、「x^2」＝Ｘの二乗　「3/2」＝２分の３というかんじで書いてあります。見づらくて申し訳ないです

お礼

ありがとうございます。
でも判別式というのがいまいちよくわからないのですが（泣）、うーん・・・これを使った方がいいんですね。プリントして、よく考えてみます。

回答No.1

humihiro2003

アドバイスを少し。
『X軸の0＜X＜2の部分と異なる2点で交わる』
ってことは、

・判別式Ｄ＞０
・ｆ（０）＞０
　かつｆ（２）＞０

ってことですね。

お礼

早速のアドバイスありがとうございます。