二次関数

質問

二次関数y=x^2-4x+a（aは定数）のグラフがx軸と異なる二点で交わるようなaの値の範囲は（ア）である。また、このとき、y=x^2-4x+aのグラフがx軸から切り取る線分の長さが6となるようなaの値は（イ）である。

今朝、投稿して、二つの回答をいただき、（ア）の求め方はわかったのですが、（イ）の解法が理解できませんでした。何度もすみません。もう一度、回答、よろしくお願いします<(_ _)>

回答No.2

asuncion · ベストアンサー

＞y=x^2-4x+aのグラフがx軸から切り取る線分の長さが6となるようなaの値は（イ）である。

これは、x^2-4x+a=0という2次方程式の2つの解の差が6であることを示しています。
2次方程式の2つの解に関する公式は、
解の公式
解と係数の関係
といったものがあります。どちらを使っても解けるはずです。
ここでは、後者を使ってみます。
x^2-4x+a=0の解をα、β（ただしα > β）とする。このとき、解と係数の関係より、
α + β = 4 …… (1)
αβ = a …… (2)
さて、(1)(2)を使って、何とかしてα - βの値を求めたいわけです。
(α - β)^2
= α^2 - 2αβ + β^2
= α^2 + 2αβ + β^2 - 4αβ
= (α + β)^2 - 4αβ
= 16 - 4a = 6^2 = 36
4a = -20
a = -5

お礼

回答、ありがとうございます。
とてもわかりやすいです。
いつもありがとうございます_(._.)_

回答No.1

gohtraw

y=x^2-4x+aのグラフがx軸から切り取る線分の長さというのは、
・このグラフがｘ軸と二点で交わり、
・その二つの交点の間の距離が６である
ということです。このグラフとｘ軸の交点というのは、ｙ＝０になる点ということですから、二つの交点のｘ座標は
二次方程式　ｘ＾２－４ｘ＋ａ＝０　の解と等しくなります。

そこで二つの解をｐおよびｑ（ｐ＞ｑ）とすると、二つの交点の間の距離が６なので
ｐ＝ｑ＋６
と表わすことが出来ます。ｐおよびｑは二次方程式
ｘ＾２－４ｘ＋ａ＝０　の解なので
（ｘ－ｐ）（ｘ－ｑ）＝０　・・・（あ）　
すなわち
ｘ＾２－（ｐ＋ｑ）ｘ＋ｐｑ＝０　・・・（い）
と変形することが出来、（あ）と（い）の係数を比較すると
ｐ＋ｑ＝４　・・・（う）
ｐｑ＝ａ　・・・（え）

（う）にｐ＝ｑ＋６を代入して
２ｑ＋６＝４
２ｑ＝－２
ｑ＝－１、ｐ＝５
　となります。